Bestimme den Grenzwert. UNI

Question

Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert der Folge a_n = \( \sqrt[n]{n^{3}} \).

Comments

Bitte nicht einfach nur Fragen spammen ohne, dass man merkt, dass du dir bereits Gedanken dazu gemacht hast.

Answer 1

Es gilt:

$$a_n = \sqrt[n]{n^{3}} = n^{\frac{3}{n}} = e^{ln(n^{\frac{3}{n}})} = e^{\frac{3}{n} \cdot ln(n)}$$

Kannst du jetzt nur den Grenzwert vom Exponenten bestimmen?

lim (n → ∞) 3·LN(n)/n

Unter der Benutzung von L'Hospital bekommst du einen Grenzwert von 0

Damit ist der Grenzwert deiner Folge e^0 = 1.

Comments

Huhu Mathecoach,

kleiner LaTeX-Tipp: Für die richtige aufrechte Schreibweise des natürlichen Logarithmus einfach

\ln{n}

schreiben, was dann zu \(\ln{n}\) wird. Außerdem kannst du um Brüche herum die Begrenzer left und right setzen, um die Höhe der Klammern an den Ausdruck dazwischen anzupassen:

\left( n^{\frac{3}{n}} \right)

und erhältst \(\left( n^{\frac{3}{n}} \right)\).

Kombiniert also

\ln{\left( n^{\frac{3}{n}} \right)}

ergibt \(\ln{\left( n^{\frac{3}{n}} \right)}\) (mit Abstand zwischen Klammer und Log - wird normalerweise benutzt, wenn keine Klammer um den Ausdruck im Logarithmus ist) bzw.

\ln \left( n^{\frac{3}{n}} \right)

ergibt \(\ln \left( n^{\frac{3}{n}} \right)\), ohne Abstand um den Ausdruck im Logarithmus.