Bestimme den Grenzwert der Folge. Uni-Niveau

Question

Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert der Folge a_n= \( \frac{2^{n}}{n!} \).

Answer 1

Hallo,

zeige per Induktion, dass \(n!>3^n\) für \(n>6\). Dann gilt:$$\frac{2^n}{n!}<\frac{2^n}{3^n}=\left(\frac{2}{3}\right)^n\xrightarrow{n\to \infty}0$$

Answer 2

Ich nehme an, es ist der Grenzwert für n→∞ gemeint. Dieser ist 0, da der Nenner sehr viel schneller wächst, als der Zähler.

Answer 3

Aloha :)$$\frac{2^n}{n!}=\frac{\overbrace{2\cdot2\cdot2\cdots2}^{\text{n-mal}}}{1\cdot2\cdot3\cdots n}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdots\frac{2}{n}\;\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\;0$$