Aufgabe:
Bestimme den Grenzwert der Folge an= \( \frac{2^{n}}{n!} \).
Hallo,
zeige per Induktion, dass \(n!>3^n\) für \(n>6\). Dann gilt:$$\frac{2^n}{n!}<\frac{2^n}{3^n}=\left(\frac{2}{3}\right)^n\xrightarrow{n\to \infty}0$$
Ich nehme an, es ist der Grenzwert für n→∞ gemeint. Dieser ist 0, da der Nenner sehr viel schneller wächst, als der Zähler.
Aloha :)$$\frac{2^n}{n!}=\frac{\overbrace{2\cdot2\cdot2\cdots2}^{\text{n-mal}}}{1\cdot2\cdot3\cdots n}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdots\frac{2}{n}\;\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\;0$$
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