Wie beweist man x^n=a hat maximal 2 Lösungen? Geht mein Beweis?

Question

Ich hätte gesagt:

Angenommen es gibt 3 Lösungen.

x^n = a

<=> n-te_Wurzel(x^n) =  + n-te_Wurzel(a) := a_1 , - n-te_Wurzel(a) := a_2

<=> x = a_1 oder x = a_2

Sind 2 Lösungen.

D.h. nach Annahme gibt es ein b != a, sodass:

x^n = b

<=> n-te_Wurzel(x^n) =  + n-te_Wurzel(b) :=b_1, - n-te_Wurzel(b) :=b_2

<=>  x = b_1 oder x =b_2

Nun folgt mit der Eindeutigkeit der Wurzel, dass a_1 = b_1 und a_2 = b_2
Also ist b = a, was ein Widerspruch zur Annahme ist.
Es folgt die Behauptung.

Geht das durch? xD

Comments

achja mir ist noch eingefallen, dass man sagen könnte, dass für jedes element eines angeordneten Körpers genau eine der folgenden beziehung geht:
a=0, a<0, a>0

D.h. es gibt keine Relation die Freiraum gibt eine solche dritte Lösung zu konstruieren.
(weil ich +,- Wurzel benutzt habe)

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Was soll denn das da oben (in der Frage) beweisen? Warum soll \(x^n\) nun aufeinmal \(b\) sein. Es geht darum, dass du die Existenz einer dritten Lösung \(x_3\) annimmst, so dass \(x_3^n = a \), wenn überhaupt.

Außerdem warum die Äquivalenzpfeile. Die Gleichung muss nicht 2 Lösungen haben. Das ist alles sehr unbedacht.

Answer 1

Du sprichst einmal von angeordnetem Körper, dann wieder von

n-ter Wurzel ( Das hört sich eher nach reellen Zahlen an.)

Wenn das wirklich eine Gleichung in reellen Zahlen ist,

und ihr sowas wie die Eindeutigkeit der Wurzel schon hattet,

ist es doch einfach:

1. Fall    a> 0

Dann hat x^n = a jedenfalls die Lösung  x = n-te Wurzel a

und für gerades n auch noch   x = - n-te Wurzel a

Das kannst du vielleicht noch mit der Monotonie und den

Graphen der entsprechenden Potenzfunktionen begründen.

2. Fall a = 0 offenbar einzige Lösung x = 0

3. Fall a < 0    Für gerades n keine Lösung

( s.o. Graph der Potenzfkt)

und für ungerades n     x = n-te Wurzel ( -a )