Oh, Mist. Ich dachte, die zu zeigende Ungleichung wäre \(\big||z_1|-|z_2|\big|\leq |z_1+z_2|\) (also mit einem Plus auf der rechten Seite). Sorry; vielleicht kam daher die Verwirrung.
Dann müssen wir es anders machen (aber ähnlich wie oben): Die beiden Ungleichungen, die wir dann brauchen, sind:
\(|z_1|=|(z_1-z_2)+z_2|\leq |z_1-z_2|+|z_2|\), also \(\color{blue}{|z_1|-|z_2|\leq |z_1-z_2|}\); und
\(|z_1|=|(z_2-z_1)+z_1|\leq |z_2-z_1|+|z_1|=|z_1-z_2|+|z_1|\), also \(\color{blue}{|z_2|-|z_1|\leq |z_1-z_2|}\).
Jetzt brauchst du die beiden blau markierten Ungleichung, um die Ungleichung in der Aufgabe zu zeigen.