Ungleichung || z1| - |z2|| ≤ |z1-z2| mit Dreiecksungleichung beweisen

Question

Zahlenbereich: Komplexe Zahlen

Das ist die Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen:

Sei z1, z2 in C (komplex)

| z1 + z2 | ≤ |z1| + |z2|

Folgern Sie aus der Dreiecksugleichung, dass für z1,z2 in C auch folgende Ungleichung gilt:

|| z1| - |z2||  ≤ |z1-z2|

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung

---

Die Antwort hat sich doch durch den Kommetar erledigt.

Wäre besser als "Antwort" formuliert, damit es aus

den offenen Fragen rausfällt.

Answer 1

\(|z_1|=|(z_1+z_2)-z_2|\). Jetzt weiter mit der Dreiecksungleichung.

Comments

|z1| = | (z1+z2) - z2|  ≤ |z1+z2| + |-z2|

Wie geht es weiter?

---

Erstmal kannst du \(|-z_2|\) vereinfachen.
Und dann guckst du du dir nochmal an, was du zeigen solltest; dann weißt du bestimmt, wie es weiter geht.

---

Also:

|z1| = | (z1+z2) - z2|  ≤ |z1+z2| + |z2| 

|z2| = | ( z2+z1)- z1| ≤ |z2+z1| + |z1|

Also:

| |(z1+z2)- z2)| - | (z2+z1)-z1 | |

Mein Latein endet langsam :(

---

Du bist jetzt schon fast fertig. :-)

Du hast also die Ungleichungen \(|z_1|\leq |z_1+z_2|+|z_2|\) bzw. \(|z_2|\leq |z_1+z_2|+|z_1|\). Subtrahiere mal auf beiden Seiten ersten Ungleichung \(|z_2|\) und bei der zweiten Ungleichung \(|z_1|\).

---

Da bekomme ich :

Nach dem Subtrahieren bekomme ich:

|z1| - |z2| ≤ |z1|   bzw. |z2| - |z1| ≤ |z2|

Hab den roten jetzt irgendwie verloren.

---

Das stimmt leider nicht.

---

WIe lautet die korrekte Version? Sehe gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht.

---

Die erste Ungleichung, die wir hatten, war \(|z_1|\leq |z_1+z_2|+|z_2|\). Wenn man auf beiden Seiten \(|z_2|\) subtrahiert, kommt man auf \(|z_1|-|z_2|\leq |z_1+z_2|\).

Und jetzt du mit der zweiten Ungleichung.

---

Okay, also dann haben wir nach der Subtraktion:

|z1| - |z2| ≤ |z1+z2|

|z2| - |z1| ≤ |z2 + z1 |

WIe geht es weiter?

---

Genau. Du hast jetzt also zwei Ungleichungen, die für alle komplexen Zahlen gelten. Und  mithilfe dieser beiden Ungleichungen kannst du jetzt die Ungleichung in deiner Aufgabe zeigen.

Guck dir mal die Ungleichung an, die du zeigen solltest: Die sieht ja ziemlich ähnlich aus. Vielleicht hast du eine Idee.

---

Ich muss irgendwie aus der Addition eine Subtraktion machen, aber ich weiß nicht, wie?

---

Oh, Mist. Ich dachte, die zu zeigende Ungleichung wäre \(\big||z_1|-|z_2|\big|\leq |z_1+z_2|\) (also mit einem Plus auf der rechten Seite). Sorry; vielleicht kam daher die Verwirrung.

Dann müssen wir es anders machen (aber ähnlich wie oben): Die beiden Ungleichungen, die wir dann brauchen, sind:
\(|z_1|=|(z_1-z_2)+z_2|\leq |z_1-z_2|+|z_2|\), also \(\color{blue}{|z_1|-|z_2|\leq |z_1-z_2|}\); und
\(|z_1|=|(z_2-z_1)+z_1|\leq |z_2-z_1|+|z_1|=|z_1-z_2|+|z_1|\), also \(\color{blue}{|z_2|-|z_1|\leq |z_1-z_2|}\).

Jetzt brauchst du die beiden blau markierten Ungleichung, um die Ungleichung in der Aufgabe zu zeigen.

---

Danke, mich verwirren einfach diese doppelten Betragsstriche in der zu gleichenden Ungleichung. Wie soll ich denn auf diese doppelten Beträge kommen ?

---

\(\big||z_1|-|z_2|\big|\) ist der Betrag von \(|z_1|-|z_2|\). (\(|z_1|-|z_2|\) ist eine reelle Zahl, also ist das einfach der reelle Betrag).
Am einfachsten ist es, wenn du eine Fallunterscheidung machst:

Erster Fall: \(|z_1|-|z_2|\geq 0\)
Dann ist \(\big||z_1|-|z_2|\big|=...\) (hier benutzt du jetzt die Definition des reellen Betrags); danach schaust du mal, ob dir vielleicht eine der beiden blau markierten Ungleichungen hilft, die oben stehen.

Ich bin jetzt mal weg, antworte aber nachher wieder.

---

Ich komme echt nicht mehr weiter, tut mir echt Leid. Aber ich mache sowas zum ersten Mal, deshalb fällt es mir wirklich sehr schwer. Könntest du das nicht lösen und ich versuche es, nachzuvollziehen, denn der Weg ist mir wichtiger als die Lösung.

---

Würde mich freuen, wenn du später noch mal antworten würdest.

---

Also, ich würde das so machen:

Der reelle Betrag ist definiert durch \(|a|:=\begin{cases}a &, \text{ falls } a\geq 0 \\ -a&, \text{ falls } a<0\end{cases}\)

Falls \(|z_1|-|z_2|\geq 0\) ist, dann gilt folgendes:

\(\big||z_1|-|z_2|\big|=|z_1|-|z_2|\leq |z_1-z_2|\) (das Gleichheitszeichen folgt aus der Definition des Betrags; das Kleiner-Gleich ist eine der beiden blauen Ungleichungen oben).

Soweit klar?

Vielleicht versuchst du jetzt den zweiten Fall (also \(|z_1|-|z_2|< 0\)) doch nochmal selbst? Das funktioniert ähnlich wie eben: Erst die Definition des Betrags nutzen und dann eine der beiden Ungleichungen von oben.

---

Also der zweite Fall sieht bei mir so aus:

||z2| - |z1| | = |z2| - |z1| ≤ |z1-z2|

Ist das richtig?

---

Passt so, aber der Vollständigkeit halber sollte man vielleicht noch davor schreiben:
\(\big||z_1|-|z_2|\big|=...\)

War doch gar nicht so schwer, oder? ;-)

---

Steht da nicht schon ||z1|  - |z2| | = ?

---

Bei dir steht doch am Anfang \(\big||z_2|-z_1|\big|\).

---

Bin gerade vewirrt :D

---

Wieso? Im Fall \(|z_1|-|z_2|<0\) ist \(|z_2|-|z_1|<0\), also kann man die Ungleichung wie folgt zeigen:

\(\big||z_1|-|z_2|\big|=\big||z_2|-|z_1|\big|=|z_2|-|z_1|\leq |z_1-z_2|\).

Welcher der Schritte ist dir unklar?

---

Ah okay, jetzt habe ich es gerafft. Also den ersten Fall, also > 0 und den zweiten Fall, also <0 wurden betrachtet und damit ist die Ungleichung gezeigt , oder?

---

Ja, jetzt haben wir alle möglichen Fälle betrachtet (der erste Fall war \(\geq 0\), nicht \(>0\)). Für alle diese Fälle haben wir die Ungleichung gezeigt, also können wir jetzt sagen, dass die Ungleichung für alle komplexen \(z_1, z_2\) gilt.

---

ALso Fall 1:

|z1-|z2| ≥ 0 , dann gilt:

|| z1| - |z2| |  = |z1| - |z2| ≤ |z1 - z2|, fertig

Fall 2:

|z1| - |z2| < 0, dann gilt:

||z1| - |z2| | = ||z2| - |z1|| = |z2| - |z1| ≤ |z2 - z1|  , fertig oder  ?

---

Ja, fertig. :D

---

Vielen lieben Dank. Das war eine schwere Geburt :D

Ich danke dir vielmals.

---

Ich bin leider nicht registiert, kann dir keinen Pluspunkt geben, oder einen Daumen hoch. Aber das hole ich noch nach, muss mich erstmal erholen von den z1,z2's :D

Ich wünsche dir einen schönen Abend.

---

Schön, wenn's dir geholfen hat.

Dir auch einen schönen Abend. :-)

---

Kannst du die Lösung nochmal erklären bzw. wie du auf die 2 ungleichungen für z1 kommst ?

---

Welchen Schritt verstehst du denn nicht? Eigentlich steht alles da; mehr könnte ich dir auch nicht mehr erzählen.