Ungleichung || z1| - |z2|| ≤ |z1-z2| mit Dreiecksungleichung beweisen

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Zahlenbereich: Komplexe Zahlen

Das ist die Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen:

Sei z1, z2 in C (komplex)

| z1 + z2 | ≤ |z1| + |z2|


Folgern Sie aus der Dreiecksugleichung, dass für z1,z2 in C auch folgende Ungleichung gilt:

|| z1| - |z2||  ≤ |z1-z2|

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von

Die Antwort hat sich doch durch den Kommetar erledigt.

Wäre besser als "Antwort" formuliert, damit es aus

den offenen Fragen rausfällt.

von
📘 Siehe "Komplex" im Wiki

1 Antwort

+3 Daumen

∣z1∣=∣(z1+z2)−z2∣|z_1|=|(z_1+z_2)-z_2|. Jetzt weiter mit der Dreiecksungleichung.

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|z1| = | (z1+z2) - z2|  ≤ |z1+z2| + |-z2|

Wie geht es weiter?

von
Erstmal kannst du ∣−z2∣|-z_2| vereinfachen.
Und dann guckst du du dir nochmal an, was du zeigen solltest; dann weißt du bestimmt, wie es weiter geht.
von

Also:

|z1| = | (z1+z2) - z2|  ≤ |z1+z2| + |z2| 

|z2| = | ( z2+z1)- z1| ≤ |z2+z1| + |z1|

Also:

| |(z1+z2)- z2)| - | (z2+z1)-z1 | |

Mein Latein endet langsam :(

von

Du bist jetzt schon fast fertig. :-)

Du hast also die Ungleichungen ∣z1∣≤∣z1+z2∣+∣z2∣|z_1|\leq |z_1+z_2|+|z_2| bzw. ∣z2∣≤∣z1+z2∣+∣z1∣|z_2|\leq |z_1+z_2|+|z_1|. Subtrahiere mal auf beiden Seiten ersten Ungleichung ∣z2∣|z_2| und bei der zweiten Ungleichung ∣z1∣|z_1|.

von

Da bekomme ich :

Nach dem Subtrahieren bekomme ich:

|z1| - |z2| ≤ |z1|   bzw. |z2| - |z1| ≤ |z2|

Hab den roten jetzt irgendwie verloren.

von

Das stimmt leider nicht.

von

WIe lautet die korrekte Version? Sehe gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht.

von

Die erste Ungleichung, die wir hatten, war ∣z1∣≤∣z1+z2∣+∣z2∣|z_1|\leq |z_1+z_2|+|z_2|. Wenn man auf beiden Seiten ∣z2∣|z_2| subtrahiert, kommt man auf ∣z1∣−∣z2∣≤∣z1+z2∣|z_1|-|z_2|\leq |z_1+z_2|.

Und jetzt du mit der zweiten Ungleichung.

von

Okay, also dann haben wir nach der Subtraktion:

|z1| - |z2| ≤ |z1+z2|

|z2| - |z1| ≤ |z2 + z1 |

WIe geht es weiter?

von

Genau. Du hast jetzt also zwei Ungleichungen, die für alle komplexen Zahlen gelten. Und  mithilfe dieser beiden Ungleichungen kannst du jetzt die Ungleichung in deiner Aufgabe zeigen.

Guck dir mal die Ungleichung an, die du zeigen solltest: Die sieht ja ziemlich ähnlich aus. Vielleicht hast du eine Idee.

von

Ich muss irgendwie aus der Addition eine Subtraktion machen, aber ich weiß nicht, wie?

von
Oh, Mist. Ich dachte, die zu zeigende Ungleichung wäre ∣∣z1∣−∣z2∣∣≤∣z1+z2∣\big||z_1|-|z_2|\big|\leq |z_1+z_2| (also mit einem Plus auf der rechten Seite). Sorry; vielleicht kam daher die Verwirrung.

Dann müssen wir es anders machen (aber ähnlich wie oben): Die beiden Ungleichungen, die wir dann brauchen, sind:
∣z1∣=∣(z1−z2)+z2∣≤∣z1−z2∣+∣z2∣|z_1|=|(z_1-z_2)+z_2|\leq |z_1-z_2|+|z_2|, also ∣z1∣−∣z2∣≤∣z1−z2∣\color{blue}{|z_1|-|z_2|\leq |z_1-z_2|}; und
∣z1∣=∣(z2−z1)+z1∣≤∣z2−z1∣+∣z1∣=∣z1−z2∣+∣z1∣|z_1|=|(z_2-z_1)+z_1|\leq |z_2-z_1|+|z_1|=|z_1-z_2|+|z_1|, also ∣z2∣−∣z1∣≤∣z1−z2∣\color{blue}{|z_2|-|z_1|\leq |z_1-z_2|}.

Jetzt brauchst du die beiden blau markierten Ungleichung, um die Ungleichung in der Aufgabe zu zeigen.
von

Danke, mich verwirren einfach diese doppelten Betragsstriche in der zu gleichenden Ungleichung. Wie soll ich denn auf diese doppelten Beträge kommen ?

von
∣∣z1∣−∣z2∣∣\big||z_1|-|z_2|\big| ist der Betrag von ∣z1∣−∣z2∣|z_1|-|z_2|. (∣z1∣−∣z2∣|z_1|-|z_2| ist eine reelle Zahl, also ist das einfach der reelle Betrag).
Am einfachsten ist es, wenn du eine Fallunterscheidung machst:

Erster Fall: ∣z1∣−∣z2∣≥0|z_1|-|z_2|\geq 0
Dann ist ∣∣z1∣−∣z2∣∣=...\big||z_1|-|z_2|\big|=... (hier benutzt du jetzt die Definition des reellen Betrags); danach schaust du mal, ob dir vielleicht eine der beiden blau markierten Ungleichungen hilft, die oben stehen.

Ich bin jetzt mal weg, antworte aber nachher wieder.
von

Ich komme echt nicht mehr weiter, tut mir echt Leid. Aber ich mache sowas zum ersten Mal, deshalb fällt es mir wirklich sehr schwer. Könntest du das nicht lösen und ich versuche es, nachzuvollziehen, denn der Weg ist mir wichtiger als die Lösung.

von

Würde mich freuen, wenn du später noch mal antworten würdest.

von

Also, ich würde das so machen:

Der reelle Betrag ist definiert durch ∣a∣ : ={a, falls a≥0−a, falls a<0|a|:=\begin{cases}a &, \text{ falls } a\geq 0 \\ -a&, \text{ falls } a<0\end{cases}

Falls ∣z1∣−∣z2∣≥0|z_1|-|z_2|\geq 0 ist, dann gilt folgendes:

∣∣z1∣−∣z2∣∣=∣z1∣−∣z2∣≤∣z1−z2∣\big||z_1|-|z_2|\big|=|z_1|-|z_2|\leq |z_1-z_2| (das Gleichheitszeichen folgt aus der Definition des Betrags; das Kleiner-Gleich ist eine der beiden blauen Ungleichungen oben).

Soweit klar?

Vielleicht versuchst du jetzt den zweiten Fall (also ∣z1∣−∣z2∣<0|z_1|-|z_2|< 0) doch nochmal selbst? Das funktioniert ähnlich wie eben: Erst die Definition des Betrags nutzen und dann eine der beiden Ungleichungen von oben.

von

Also der zweite Fall sieht bei mir so aus:

||z2| - |z1| | = |z2| - |z1| ≤ |z1-z2|


Ist das richtig?

von
Passt so, aber der Vollständigkeit halber sollte man vielleicht noch davor schreiben:
∣∣z1∣−∣z2∣∣=...\big||z_1|-|z_2|\big|=...

War doch gar nicht so schwer, oder? ;-)
von

Steht da nicht schon ||z1|  - |z2| | = ?

von

Bei dir steht doch am Anfang ∣∣z2∣−z1∣∣\big||z_2|-z_1|\big|.

von

Bin gerade vewirrt :D

von

Wieso? Im Fall ∣z1∣−∣z2∣<0|z_1|-|z_2|<0 ist ∣z2∣−∣z1∣<0|z_2|-|z_1|<0, also kann man die Ungleichung wie folgt zeigen:

∣∣z1∣−∣z2∣∣=∣∣z2∣−∣z1∣∣=∣z2∣−∣z1∣≤∣z1−z2∣\big||z_1|-|z_2|\big|=\big||z_2|-|z_1|\big|=|z_2|-|z_1|\leq |z_1-z_2|.

Welcher der Schritte ist dir unklar?

von

Ah okay, jetzt habe ich es gerafft. Also den ersten Fall, also > 0 und den zweiten Fall, also <0 wurden betrachtet und damit ist die Ungleichung gezeigt , oder?

von
Ja, jetzt haben wir alle möglichen Fälle betrachtet (der erste Fall war ≥0\geq 0, nicht >0>0). Für alle diese Fälle haben wir die Ungleichung gezeigt, also können wir jetzt sagen, dass die Ungleichung für alle komplexen z1,z2z_1, z_2 gilt.
von

ALso Fall 1:

|z1-|z2| ≥ 0 , dann gilt:


|| z1| - |z2| |  = |z1| - |z2| ≤ |z1 - z2|, fertig


Fall 2:

|z1| - |z2| < 0, dann gilt:

||z1| - |z2| | = ||z2| - |z1|| = |z2| - |z1| ≤ |z2 - z1|  , fertig oder  ?

von

Ja, fertig. :D

von

Vielen lieben Dank. Das war eine schwere Geburt :D

Ich danke dir vielmals.

von

Ich bin leider nicht registiert, kann dir keinen Pluspunkt geben, oder einen Daumen hoch. Aber das hole ich noch nach, muss mich erstmal erholen von den z1,z2's :D

Ich wünsche dir einen schönen Abend.

von

Schön, wenn's dir geholfen hat.

Dir auch einen schönen Abend. :-)

von

Kannst du die Lösung nochmal erklären bzw. wie du auf die 2 ungleichungen für z1 kommst ?

von

Welchen Schritt verstehst du denn nicht? Eigentlich steht alles da; mehr könnte ich dir auch nicht mehr erzählen.

von

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