Gleichung einer quadratischen Kostenfunktion

Question

Ein Betrieb hat monatlich Fixkosten von 30 GE (Geldeinheiten). Bei einer Produktion von 20 ME (Mengeneinheiten) betragen die Gesamtkosten 310 GE, bei einer Produktion von 50 ME betragen die Gesamtkosten 1030 GE,

a) Wir nehmen an, dass die Kostenfunktion dieses Betriebes quadratisch ist. Berechne sie.

b) Mit welchen Kosten muss der Betrieb rechnen, wenn 30 ME erzeugt werden sollen.

c) Wie viel ME dürfen höchstens produziert werden, damit die Gesamtkosten unter 900 GE bleiben?

d) Der Verkaufspreis beträgt 20 GE/ME. Berechne die Erlösfunktion E.

e) Stelle die Kosten- und die Erlösfunktion für x ∈ [ 0; 50 ] in einem gemeinsamen Koordiantensystem dar und kennzeichne in der Zeichnung den Gewinnbereich.

f) Gib die Gewinnfunktion an und stelle sie in einem neuen Koordinatensystem dar.

g) Wie viele ME muss der Betrieb produzieren, um den maximalen Gewinn zu erzielen und wie hoch ist dieser?

Bitte um Lösungsweg!

Answer 1

a)

gegeben ist die Kostenfunktion mit den Punkten A ( 0 / 30 ) , B ( 20 / 310 ) , C ( 50 / 1030)

$$ k(x) = ax^2 + bx +c \quad \text{mit} \quad  x \geq 0 $$

Durch einsetzen der Punkte in k(x) erhält man 3 Gleichungen. c ergibt sich direkt aus Punkt A. Die anderen beiden Gleichungen muss man entsprechend nach a und b auflösen.

einsetzen von a,b und c ergibt k(x).

b)

k(30) berechnen

c)

k(x) = 900 lösen. Beachte für die Lösungen dass x<0 nicht möglich ist.

d)

Gegeben ist die Erlösfunktion mit den Punkten D(0/0) (kein Verkauf, kein Erlös) und F(1/20).

$$e(x) = mx + n \quad \text{mit} \quad x \geq 0$$

Einsetzen der Punkte ergibt 2 Gleichungen die n und m ergeben.

e)

Wertetabelle für die Funktionen erstellen und einzeichen. Der Gewinnbereich ist der Bereich wo die Erlösfunktion über der Kostenfunktion liegt.

f) Gewinn = Erlös-Kosten also:

$$ g(x) =e(x)-k(x) \quad \text{mit} \quad x \geq 0 $$

g)

Maximaler Gewinn ist ein Extrempunkt von g(x)

Ableitung g'(x) bilden und x₀ mit g'(x₀) = 0 berechnen.

Höhe des maximalen Gewinns ist g(x₀).

Comments

Aber wenn ich a) falsch hätte, wären dann nicht auch die anderen Aufgaben davon betroffen?

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Ja wären die anderen. Du kannst gerne Dein Ergebnis posten und wir vergleichen mit meinem.

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Mein Ergebnis is:

a = 0,2

b = 10

c = 30

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Die gleichen Werte hatte ich auch. :-). Nochmaliges Einsetzen der gegeben Punkte in die Gleichung zeigt im Normalfall auch, ob die Gleichung korrekt bestimmt wurde.

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Dan bin ich auf dem besten Wege zum kompletten Ergebnis.

Danke vielmals

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Gern geschehen. Wollte nur keine "Komplettlösung" posten, fehlt nur nicht mehr viel :-).