Für welche r, s ∈ ℕ ist die Relation reflexiv, symmetrisch, oder transitiv

Question

Für welche r, s ∈ ℕ ist die Relation

{(a,b) ∈ ℕ x ℕ | a^r teilt b^s} ⊆ ℕ x ℕ

reflexiv, symmetrisch, oder transitiv?

Kann mir jemand ein Beispiel geben wie man das für eines der Eigenschaften zeigt? Ich weiß überhaupt nicht wie man darauf kommt.

Answer 1

Beispiel:

Damit die Relation reflexiv ist muss gelten: \(a^r \) teilt \(a^s\) für alle \(a \in \mathbb{N} \).

Dies gilt genau dann, wenn \( r \leq s \). (Beide sind nach Voraussetzung natürliche Zahlen).

Gruß

Comments

ist das nicht reflexiv?

und müsste nicht symmetrisch heißen, dass a^r teil b^s sowie b^r teilt a^s und das geht nur für alle möglichen Tupel (a,b) wenn r = s = 0 ist?

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Ja genau, hatte mich verschrieben o.O. Editiere es mal.

Die Symmetrie muss nicht für alle möglichen Tupel gelten, sondern falls es für ein Tupel (a.b) gilt so muss die Relation auch für (b,a) gelten. Da man aber für alle Fälle ein einfaches Gegenbeispiel findet hast du Recht, dass r=s=0 gelten muss. Ist 0 bei euch keine natürliche Zahle so wäre die Antwort, dass die Relation nie symmetrisch sein kann.