Potenzreihen. Aufgaben mit Binomialkoeffizient und Fakultät. Konvergenzradius

Question

Hallo benötige Hilfe bei zwei Aufgaben

Muss hier die Entwicklungspunkte und den Konvergenzradius bestimmen:

$$\sum _{ j=0 }^{ \infty  }{ (\begin{matrix} 2J \\ J \end{matrix}) } (z-7)^{ j }$$

Bei der ersten ist der Entwicklunspunkt ja z0=7

Und den vorderen Teil kann man ja anhand des Binomialkoeffizienten umschreiben.

Hätte jetzt gesagt daraus folgt das der Konvergenzradius 1/2 ist, da sich das n! wegkürzt stimmt dies?

zweite Aufgabe:

$$\sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ \frac { 2+{ i }^{ n } }{ n! }  } (2z+5i)^{ n }$$

Danke schonmal

Comments

b) hier: https://www.mathelounge.de/137244/konvergenzradius-der-potenzreihen-∑-1-1-k-k-2-z-i-k-und-∑-π-k-k-z-2-k

könnte eine Vermutung zu deiner 2. Aufgabe enthalten, die aber bisher wohl niemand überprüfen konnte.

Answer 1

bei der ersten Reihe würde ich nicht nur spekulieren sondern mal konkret nachprüfen. Der Konvergenzradius ist nicht \(\frac{1}{2} \).

Bei der zweiten Reihe: Schau dir Lu's Kommentar an und verwende u.a. Exponentialfunktion, falls ihr diese bereits behandelt habt um zu sehen, dass die Reihe eine Funktion beschreibt die für alle komplexen Zahlen definiert ist.

Oder: Verwende erneut das Quotientenkriterium um zu sehen, dass der Konvergenzradius nicht endlich ist.

Gruß

Comments

Kannst du mir bei der ersten Aufgabe ein Tipp geben. weiß nicht genau wie ich 2j über j umschreiben soll.

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$$ \binom{2j}{j} = \frac{(2j)!}{j! \cdot j!} $$

Answer 2

Bei der 2. kannst du doch umformen

$$ \sum_{n=2}^{\infty}{\frac { 2+{ i }^{ n } }{ n! }}*{ (2z+5i) }^{ n } $$
$$= \sum_{n=2}^{\infty}{\frac { 2+{ i }^{ n } }{ n! }}*{ 2 }^{ n }{ (z+\frac { 5i}{ 2 }) }^{ n } $$
$$= \sum_{n=2}^{\infty}{\frac { { 2 }^{ n+1 }+{ (2i) }^{ n } }{ n! }}*{ (z+\frac { 5i}{ 2 }) }^{ n } $$

Dann ist der Entwicklungspunkt schon mal -5i/2 .