Prüfen ob die Aussage |z| = 1/2 √2 stimmt

Question

|z| = 1/(1+i)    

Die Aussage lautet Re(z) = 1/2√2   
Ich habe es schon mit Taschenrechner berechnet und die Aussage stimmt.  Wie muss man es ohne Taschenrechner machen???? 


EDITLu): Im Kommentar steht: " hatte die betragsstriche striche vergessen , habe es nachgebessert .   also z =1/(1+i)     

und die aussage ist |z| = 1/2√2 "

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ich hatte die betragsstriche striche vergessen , habe es nachgebessert .   also z =1/(1+i)    

und die aussage ist |z| = 1/2√2

Answer 1

Hi,

sorge dafür, dass der Nenner nicht mehr komplex ist. Erweitere mit der dritten binomischen Formel:

$$z = \frac{1}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i} = \frac{1-i}{2} = \frac12 - \frac i2$$

Der Realteil ist also 1/2. Da gibt es keine Wurzel? ;)

Grüße

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Ah Du suchst den Betrag?

$$|z| = \sqrt{\left(\frac12\right)^2 + \left(-\frac12\right)^2} = \sqrt{\frac14+\frac14} = \sqrt{\frac12} = \frac{\sqrt2}{2}$$

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wo kommen die zweien her unter der ersten wurzel  ???

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Der Betrag ergibt sich zu |z| = √(Re(z)^2 + Im(z)^2).

Du erinnerst Dich? :)

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achso ok,, man muss sie natürlich erst in die form z = a+ib bringen , ok macht sinn.   danke

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Genau ;).

Gerne

Answer 2

z = 1/(1+i) = (1-i) / [ (1+i) • (1-i)] = (1-i) / (1-i²) = (1-i) / 2 = 1/2 - 1/2i

->  Re(z) = 1/2   (Taschenrechner wegwerfen :-))

Gruß Wolfgang

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mir ist ein fehler unterlaufen beim aptippen der aufgabe,, ist schon spät und lern schond en ganzen tag sorry dafür .

Ich habe es aber in einem kommentar nachgebessert. Kannst du dir das mal anschauen

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|z| = √ ( (1/2)² + (1/2)² ) = √ (1/2) = √ (2/4) = 1/2 • √2

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wo kommen die zweien unter der ersten wurzel her

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z = x ± y • i  ->  |z| = √(x² + y²)  (hatten wir heute schon mal :-)

unser z = 1/2 - 1/2 • i

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ja hast recht, ich hatte nicht dran gedacht das man sie erst in die form z = a+ib bringen mussen,  wie gesagt ist schon spät :-) 

ich geh jetzt auch schlafen, danke nochmal für die ganze Hilfe

Answer 3

z =1/(1+i)   

Bedenke

| u / v | = |u| /  |v|

Daher

|z| =|1|/|(1+i)| = 1 / √(1+1) 

= 1/√2         | erweitern mit √2

=√2 / 2 = 1/2 √2 qed.