Uneigentliche Integrale (Nichtexistenz/Existenz)? ∫o^{pi/2} 1/√sin(x) dx und ∫o^1 xr (1-x)s r,s Element R

Question

Diskutieren Sie (in Abhängigkeit
von eventuellen Parametern) mit dem Majoranten / Minoranten-Kriterium die Existenz / Nichtexistenz der
folgenden uneigentlichen Integrale:

∫₀^pi/2  1/√sin(x) dx     und ∫¹₀ x^r (1-x)^s     r,s element R

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Antwort mit KI erzeugt

Uneigentliche Integrale (Nichtexistenz/Existenz)?

∫₀^π/2 1/√sin(x) dx und ∫₀¹ x^r (1-x)^s, r,s ∈ R

Um die Existenz oder Nichtexistenz dieser uneigentlichen Integrale zu diskutieren, verwenden wir das Majoranten- bzw. Minoranten-Kriterium. Dieses besagt, dass ein Integral ∫_a^b f(x) dx existiert, wenn |f(x)| durch eine integrierbare Funktion g(x) auf [a, b] beschränkt ist, die als Majorante dient. Analog kann eine Minorante zur Demonstration der Nichtexistenz eingesetzt werden.

∫₀^π/2 1/√sin(x) dx

Für x nahe 0 verhält sich sin(x) wie x. Daher können wir 1/√sin(x) in der Nähe von 0 durch 1/√x approximieren. Wir betrachten das Integral von 1/√x auf einem ähnlichen Intervall, z.B. ∫₀^ε 1/√x dx für ein kleines ε > 0. Dieses Integral repräsentiert eine Majorante für das ursprüngliche Integral in der Nähe von 0.

\( \int_{0}^{\epsilon} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} \bigg|_0^{\epsilon} = 2\sqrt{\epsilon} \)

Da dieser Ausdruck für jedes positive ε endlich ist, deutet dies darauf hin, dass das Originalintegral ∫₀^π/2 1/√sin(x) dx konvergiert nahe 0. Da außerhalb dieser Nähe keine weiteren Singularitäten existieren, konvergiert das Integral insgesamt.

∫₀¹ x^r (1-x)^s, r,s ∈ R

Die Analyse der Existenz dieses Integrals hängt von den Werten der Parameter \(r\) und \(s\) ab und bezieht sich auf das Verhalten des Integranden in der Nähe der Endpunkte des Intervalls [0, 1].

- In der Nähe von \(x = 0\): Der Term \(x^r\) führt zu einer möglichen Singularität bei \(x = 0\), falls \(r \leq -1\).

\( \int_{0}^{\epsilon} x^r dx = \frac{x^{r+1}}{r+1} \bigg|_{0}^{\epsilon} = \frac{\epsilon^{r+1}}{r+1} \)

Für \(r > -1\) ist dieses Integral endlich, da der Ausdruck für \(\epsilon^{r+1}\) konvergiert, wenn \(\epsilon \rightarrow 0\).

- In der Nähe von \(x = 1\): Ähnlich führt der Term \((1-x)^s\) zu einer möglichen Singularität bei \(x = 1\), falls \(s \leq -1\).

\( \int_{1-\epsilon}^{1} (1-x)^s dx = \frac{(1-x)^{s+1}}{s+1} \bigg|_{1-\epsilon}^{1} = \frac{-(1-(1-\epsilon))^{s+1}}{s+1} = \frac{-\epsilon^{s+1}}{s+1} \)

Auch hier ist das Integral endlich für \(s > -1\), denn \(\epsilon^{s+1}\) konvergiert, wenn \(\epsilon \rightarrow 0\).

Zusammenfassung:

Das Integral ∫₀^π/2 1/√sin(x) dx existiert.

Für das Integral ∫₀¹ x^r (1-x)^s hängt die Existenz von den Werten von \(r\) und \(s\) ab: Es existiert, wenn \(r > -1\) und \(s > -1\). Ist einer der Parameter \(r\) oder \(s\) gleich oder kleiner als -1, existiert das Integral nicht.