Question

Welche der angegebenen Folgen sind beschränkt, nach oben beschränkt, bzw. nach unten beschränkt?

1.)

2.)

Answer 1

1) zusammenrechnen gibt  ( 5n+1) / ( 2n^2 +3n + 1)

und es für alle n aus N positiv, also nach unten beschränkt und

wegen    ( 5n+1) / ( 2n^2 +3n + 1)   <  (10n) / ( 2n^2 +3n + 1)   <    (10n) / ( 2n^2 )  = 5/n  < 6

für alle n aus N      auch nach oben beschränkt.

2)  n / 27 - 1 /n   = ( n^2 - 27 ) /  (27n )   >   -27 / (27n)  >  -1 / n   > -2

also nach unten beschränkt. 

und  nach oben nicht beschränkt, denn wäre S eine obere Schranke, dann

( n^2 - 27 ) /  (27n)  ≤ S        für alle n aus N also

n^2 - 27    ≤ 27*n* S  

n^2    - 27*n* S   ≤    27  

n * ( n-27S)     ≤    27  

was für n < max {27 ;  27S } nicht gelten kann, da dann

n-27S positiv und n > 27 also das Produkt > 27 ist.

Widerspruch, also gibt es keine obere Schranke.

Comments

Hallo Mathef,

ich habe noch eine Frage zur Beschränktheit und habe da wahrscheinlich irgendeinen Denkfehler.

Kann man die Beschränktheit mit dem Grenzwert begründen bzw. widerlegen?

Zum Beispiel bei Aufgabe 2 dachte ich, wenn der limes n -> -unendlich auch -unendlich ist, ist die Folge nach unten nicht beschränkt, deine Lösung ist für mich aber total nachvollziehbar.

Ich verstehe die Zusammenhänge nicht, könntest du mir da vielleicht helfen?

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Kann man die Beschränktheit mit dem Grenzwert begründen bzw. widerlegen?

Zum Beispiel bei Aufgabe 2 dachte ich, wenn der limes n -> -unendlich auch -unendlich ist, ist die Folge nach unten nicht beschränkt,

So geht es auch.

deine Lösung ist für mich aber total nachvollziehbar.

Ich verstehe die Zusammenhänge nicht, könntest du mir da vielleicht helfen?

Gilt sogar. Wenn die Folge einen Grenzwert g ∈ IR  hat, dann ist sie

(nach oben und unten) beschränkt.