Es seien X und Y zwei Mengen : f: X nach Y eine Abbildung

Question

Zeigen Sie dass im Fall $$ \left| X \right| =\left| Y \right| <\quad \infty \quad folgenedes\quad äquivalent\quad ist\quad :$$ 

Mit |X| sind immer die Mächtigkeiten gemeint : 

f ist injektiv 
f ist surjektiv 
f ist bijektiv 

Folgende Hilfsmittel : 

|X|=|f(X)| mit folgender Proposition :  Y ist endlich mit |X|=|Y| +|X/Y|,insbesondere |X|=|Y| äquivalent zu X=Y


Mein Ansatz : 

ich habe jetzt Y ersetzt durch f(x) wie zeige ich denn jetzt mit Mächtigkeiten, dass wenn f injektiv ist auch folgt dass f surjektiv ist und umgekehrt : 


Dann müsste man ja schreiben 

injektiv gilt ja wenn x=x* daraus folgt f(x)=f(x*) 

also 

|f(X)| +|X/f(x)|= |f(X*)| +|X*/f(X*)| macht der ansatz sinn bin ich auf dem richtigen weg ??? hoffe man kann mir helfen 

Comments

injektiv gilt ja wenn x=x* daraus folgt f(x)=f(x*) 

nein, umgekehrt:

wenn f(x)=f(x*) dann x=x*

Das andere gilt bei Funktionen immer.

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https://www.mathelounge.de/287502/zeige-die-aquivalenz-f-injektiv-f-surjektiv?show=287661#a287661

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Gilt die ordnungsrelarion kleiner gleich dann auch für die mächtigkeit ?
Demnach hätte ich ja |f(X)|<=|X| , da f surjektiv ist ?!

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Größer gleich da ich ja zu einem x min 1 f(x) zuordne

Darauf dir mächtigkeiten angewandt bleibt nur noch die gleiche Menge übrig ...