Seien A, B nichtleere Mengen. Man beweise, dass dann |A| ≤ |AxB| gilt.

Question

Die Aufgabe stammt aus dem Bereich der Analysis.

Mein Ansatz für < wäre zu zeigen, dass es eine injektive Fkt. von A nach AxB gibt, aber keine bijektive.

Für = muss es dann ja eine bijektive Fkt. geben.

Weiter komme ich bislang trotzdem nicht.

Vielen Dank, für jede Hilfe!

Answer 1

|A| bezeichnet die Mächtigkeit von A. Für nichtleere Mengen B gilt |B|>0. Die Mächtigkeit von A sei n>0 und die Mächtigkeit von B sei m>0. Dann ist |A×B|= n·m. Und für n>0 sowie m>0 gilt in den natürlichen Zahlen: m·n>n.

Comments

Das ist absolut plausibel.

Dennoch glaube ich, dass dieser Lösungsweg nicht gefragt ist.

Das Thema "Mengen" bezieht sich aktuell auf Funktionen.

Leider habe ich zu dieser Aufgabe nicht mehr Informationen, als auch hier im Titel angegeben sind.

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Seit wann und von wem werden Lösungswege denn vorgeschrieben?

Answer 2

Deine Idee ist gut, wobei Du die Sache unnoetig verkomplizierst. Es gilt ja einfach $$|C|\le|D|\Leftrightarrow\text{Es gibt eine Injektion von $C$ nach $D$}.$$ Zur Lösung der Aufgabe ist also nur eine Injektion von \(A\) nach \(A\times B\) anzugeben. So eine Injektion hinzuschreiben ist voellig trivial.