lineare Abbildung prüfen

Question

Lineare Abbildung w : R^3 -> R^3

mit (x y z) -> (x+2y+3z   , -x-y+z   , -3x-6y-8z)

Zeige w ist bijektiv und bestimme die Matrix von w^-1 bzgl. der Standard-Basen .

Ich weiß ,wie ich die Surjektivität zeige . Um die Injektivität zu zeigen , kann ich ja

das lineare Gleichungssystem aufstellen

x + 2y +3z = d

-x -y +z = e

-3x -6y-8z = f

und zeigen , dass es genau eine Lösung hat.

Für x,y,z ergeben sich ja aber Lösungen in Abhängigkeit von d , e bzw. f

Muss man hier doch einen anderen Ansatz wählen ?

Answer 1

mit der gegebenen Matrix W hat auch die inverse Matrix W^-1 den Rang 3.

Jedes Bild \(\vec{y}\)∈ ℝ³ hat also genau ein Urbild \(\vec{x}\) = W^-1 • \(\vec{y}\) 

und genau das bedeutet, dass die lineare Abbildung injektiv ist.

Gruß Wolfgang