Auf Untervektorraum prüfen.

Question

Aufgabe:

Aufgabe 2

Gegeben sei der Vektorraum \( \mathbf{V}=\mathbb{R}^{4} \).

a) Zeigen Sie:

Die Mengen \( \mathbf{U}=\left\{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \in \mathbf{V} \quad \mid v_{1}+v_{2}+v_{3}=0\right\} \) und \( \mathbf{W}=\left\{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \in \mathbf{V} \quad \mid v_{4}=3 v_{1}\right\} \) sind Untervektorräume \( \operatorname{von} \mathbf{V} \).

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, wie ist es mit den Axiomen?

Weil ich hab ja den R^4, muss ich dann nicht auch 4 Einträge haben?

Die Bedingungen verwirren mich.

Kann jemand schauen und mir sagen ob ich nun beim ersten bis dritten Axiom Prüfe ob:

v1+v2+v3+v4 =0

Oder v1+v2+v3=0

Und bei den anderen zwei Analog:

Also:

(v1,v2,v3,v4),(u1,u2,u3,u4) €U z.z.: (v1,v2,v3,v4)+(u1,u2,u3,u4) €U

Oder nur bis v3? Ich checks nicht.

Answer 1

Prüfen auf Unterraum:

1. Der Nullvektor ist enthalten: Also musst du prüfen ,

ob \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \) =(0,0,0,0) die Bedingung \( v_{1}+v_{2}+v_{3}=0 \) erfüllt. Ist so; denn 0+0+0=0.

2. Abgeschlossen bzgl +. Also wenn du zwei aus U hast

\( v= \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \) und \( w= \left(w_{1}, w_{2},w_{3}, w_{4}\right) \)

Dann gilt ja \( v_{1}+v_{2}+v_{3}=0 \) und \( w_{1}+w_{2}+w_{3}=0 \)

Und es ist \( v+w= \left(v_{1}+w_{1}, v_{2}+w_{2}, v_{3}+w_{3}, v_{4}+w_{4}\right) \)

Und jetzt musst du halt prüfen, ob die Summe der ersten 3 Komponenten 0 ist.

\( (v_{1}+w_{1})+(v_{2}+w_{2})+(v_{3}+w_{3}) = 0 \)

Das folgt aber aus \( v_{1}+v_{2}+v_{3}=0 \) und \( w_{1}+w_{2}+w_{3}=0 \)

ist also erfüllt.

So ähnlich geht es auch mit dem 3. Kriterium für Unterräume.

Comments

Okay Wunderbar, vielen dank dafür.

Würdest du dir den zweiten Teil der Aufgabe schnell anschauen, wenn ich den auch mittels der drei Axiome prüfe, und mir dann sagen ob das richtig ist?

Answer 2

Aloha :)

Du kannst aus der Darstellung der Mengen sofort eine Basis des Unterraums bestimmen.

Die Bedingung an alle Elemente der Menge \(U\) können wir unschreiben zu \(v_3=-v_1-v_2\). Daher haben alle Vektoren \(\vec u\in U\) die Darstellung:$$\vec u=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\-v_1-v_2\\v_4\end{pmatrix}=v_1\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}+v_2\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0\end{pmatrix}+v_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$Alle Vektoren \(\vec u\in U\) sind also eine Linearkombination der 3 bestimmten Basisvektoren. \(U\) ist also ein 3-dimensionaler Unterraum der \(\mathbb R^4\).

Die Bedingung an alle Elemente der Menge \(W\) lautet \(v_4=3v_1\). Daher haben alle Vektoren \(\vec w\in W\) die Darstellung:$$\vec w=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\3v_1\end{pmatrix}=v_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\3\end{pmatrix}+v_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+v_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}$$Alle Vektoren \(\vec w\in W\) sind also eine Linearkombination der 3 bestimmten Basisvektoren. \(W\) ist also ein 3-dimensionaler Unterraum der \(\mathbb R^4\).

Comments

Verstehe. Also @Tschakabumba, ich muss nicht immer mit den Axiomen argumentieren, wenn ich eine Basis bilden kann, dann reicht das auch?

---

Ja, damit sind alle Unterraum-Axiome automatisch erfüllt.