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Aufgabe:

Gegeben ist in \( \mathbf{V}=\mathbb{R}^{3} \) die Menge von Vektoren

\(A=\left\{v_{1}=\left(\begin{array}{c}-1 \\1 \\0\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\1 \\1\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\2 \\1\end{array}\right)\right\}\)

a) Prüfen Sie die Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit.

b) Geben Sie eine Basis und die Dimension von \( \operatorname{Span}(A) \) an.

c) Zeigen Sie \( v=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right) \in \operatorname{Span}(A) \) und geben Sie die Koordinaten von \( v \) bzgl. der Basis \( B=\left\{v_{1}, v_{3}\right\} \) an.



Problem/Ansatz:

Die a und b habe ich gelöst, jedoch komme ich bei der Teilaufgabe c) nicht weiter.


Und könnte man bitte das formatieren, ich habe es nicht hinbekommen.

Sorry.

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Du könntest für einen bestimmten Vektor so schreiben:

(3,0)^T , dann weiß man , dass damit der Vektor in senkrechter Form mit den Komponenten 3 und 0 gemeint ist. Zum Beispiel in deinem Fall die Basis A:


[(-1,1,0)^T,(1,1,0)^T,(0,2,1)^T]

Ich meinte die c) wie prüfe ich das?

Ich denke, du musst den Vektor v als Linearkombination der drei Vektoren v1,v2,v3 angeben. Also zeigen, dass es jeweils ein reelles Skalar a,b und c gibt, mit denen gilt: a*v1+b*v2+c*v3=v, also das LGS lösen. Beim zweiten Teil musst du dasselbe machen, nur diesmal mit a*v1+c*v3=v, wobei hier a und c nicht das gleiche sein müssen wie davor. Aber ich kann keine Garantie für meine Antwort geben.

Okay vielen Dank.

1 Antwort

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Löse die Gleichung \(\alpha\cdot v_1 + \beta\cdot v_2 = \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\).

Avatar von 107 k 🚀

Vielen Dank.

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