Zeigen Sie, dass es ein Untervektorraum und Basis ist

Question

Aufgabe:

Gegeben sei der $\mathbb{R}$-Vektorraum $V=\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})$.

Zeigen Sie:
(a) Die Menge $U:=\{p \in V: p(1)=0\}$ ist ein Untervektorraum von $V$
(b) Die Liste $x-1, x^{2}-x, x^{3}-1$ ist eine Basis von $U$.
(c) Ergänzen Sie die Basis aus (b) zu einer Basis von $V$.

Answer 1

a) Das Nullpolynom ist in U

und zu je zwei Polynom p und q auch deren Summe

und Vielfache a*p mit a∈ℝ wieder in U

Answer 2

Zu a)

Zeige, dass $\varphi:\; V\rightarrow \mathbb{R},\; p\mapsto p(1)$ linear ist.

Dann ist $U=\ker(\varphi)$, also insbesondere Unterraum.

Zu b)

Der Dimensionssatz für lineare Abbildungen besagt

$\dim(U)=\dim(V)-\dim(img(\varphi))=4-1=3.$

Zeige also, dass die 3 angegebenen Polynome linear

unabhägig sind; denn dann bilden sie eine Basis.

Zu c)

Überlege dir, dass du irgendein Polynom in $V\backslash U$

zur Basisergänzung verwenden kannst.