Zeigen Sie, dass es ein Untervektorraum und Basis ist

Question

Aufgabe:

Gegeben sei der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( V=\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \).

Zeigen Sie:
(a) Die Menge \( U:=\{p \in V: p(1)=0\} \) ist ein Untervektorraum von \( V \)
(b) Die Liste \( x-1, x^{2}-x, x^{3}-1 \) ist eine Basis von \( U \).
(c) Ergänzen Sie die Basis aus (b) zu einer Basis von \( V \).

Answer 1

a) Das Nullpolynom ist in U

und zu je zwei Polynom p und q auch deren Summe

und Vielfache a*p mit a∈ℝ wieder in U

Answer 2

Zu a)

Zeige, dass \(\varphi:\; V\rightarrow \mathbb{R},\; p\mapsto p(1)\) linear ist.

Dann ist \(U=\ker(\varphi)\), also insbesondere Unterraum.

Zu b)

Der Dimensionssatz für lineare Abbildungen besagt

\(\dim(U)=\dim(V)-\dim(img(\varphi))=4-1=3.\)

Zeige also, dass die 3 angegebenen Polynome linear

unabhägig sind; denn dann bilden sie eine Basis.

Zu c)

Überlege dir, dass du irgendein Polynom in \(V\backslash U\)

zur Basisergänzung verwenden kannst.