Untervektorraum beweisen und Basis/Dimension bestimmen

Question

Aufgabe:

Fibonacci-Folgen. Betrachten Sie die Teilmenge
\( U=\{f \in \mathrm{Abb}(\mathbb{N}, \mathbb{R}): f(n+2)=f(n)+f(n+1) \forall n \in \mathbb{N}\} \)
\( \operatorname{im} \mathbb{R} \)-Vektorraum \( V=\operatorname{Abb}(\mathbb{N}, \mathbb{R}) \).

(a) Zeigen Sie, dass \( U \subset V \) ein Untervektorraum ist.

(b) Bestimmen Sie eine Basis und damit die Dimension von \( U \).
Hinweis. Zeigen Sie (z.B. mittels vollständiger Induktion), dass für \( \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) genau eine Funktion \( f \in U \) existiert mit \( f(1)=x_{1} \) und \( f(2)=x_{2} \).

Answer 1

Zeigen Sie, dass \( U \subset V \) ein Untervektorraum ist.

1. Seien f und g also

\( f(n+2)=f(n)+f(n+1) \forall n \in \mathbb{N}\} \) und  \( g(n+2)=g(n)+g(n+1) \forall n \in \mathbb{N}\} \)

==>  (f+g)(n+2) = f(n+2)+g(n+2) = (f(n)+f(n+1))+(g(n)+g(n+1))

                                                = f(n)+g(n) + f(n+1))+g(n+1)

                                                  = (f+g)(n) + (f+g)(n+1)

also f+g ∈ U. Entsprechend beweise c*f∈U für c∈ℝ und f∈U und

die Folge mit lauter 0en erfüllt die Bedingung auch, ist also auch in U.