Untervektorraum Basis Dimension

Question

Es sei \( n \in \mathbb{N}_{\geq 2} \) beliebig und \( \mathbb{K}=\mathbb{Q} \). Weiterhin sei

\( U:=\left\{u=\left(\begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ n \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{n}: u_{1}+\cdots+u_{n}=0\right\} \subseteq \mathbb{Q}^{n} . \)
Zeigen Sie, dass \( U \leq \mathbb{Q}^{n} \) gilt und bestimmen Sie \( \operatorname{dim} U \), sowie eine Basis für \( U \).

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich an so eine Aufgabe ran ? Verstehe den Untervektorraum schon nicht…

Answer 1

Aloha :)

Alle Vektoren \(\vec u\in U\) erfüllen die Bedingung:$$u_1+\cdots+u_n=0$$Wir stellen diese Bedingung nach einer Komponente um. Wir wählen etwa \(u_1\):$$u_1=-u_2-u_3-\cdots-u_n$$und geben alle Vektoren \(\vec u\in U\) an:$$\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\\vdots\\u_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-u_2-u_3-\cdots-u_n\\u_2\\u_3\\\vdots\\u_n\end{pmatrix}=u_2\pink{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}}+u_3\pink{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}}+\cdots+u_n\pink{\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}}$$Die \((n-1)\) pinken Vektoren bilden eine Basis von \(U\), sodass \(\operatorname{dim}(U)=n-1\) gilt.

Comments

Hallo,

deinen Gedankengang kann ich nachvollziehen, allerdings stelle ich mir folgende Frage:

Wie kommt man darauf nach u1 aufzulösen?

Wieso kann man nicht jeweils u1 bis un „herausziehen“ und dann wäre die Dimension n?

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Du musst nicht nach \(u_1\) umstellen. Du kannst dir eine Koordinate aussuchen. Du bekommst dann natürlich eine andere Basisdarstellung heraus. Das ist aber nicht schlimm, es gibt nicht die Basis, sondern immer nur eine von unendlich vielen möglichen Basen.

Du hast eine Gleichung. Das heißt, du kannst \((n-1)\) Koordinaten völlig frei wählen, aber die letzte Koordinate musst(!) du dann so wählen, dass die Gleichung erfüllt ist. Daher hast du nur \((n-1)\) freie Variablen (Dimensionen). Wenn du eine Basis angeben möchtest, musst du daher die Gleichung nach einer Variablen umstellen, die du dann durch die \((n-1)\) anderen ausdrückst.

Wenn du z.B. die Gleichung nach 2 Variablen umstellen würdest, etwa:$$u_1+u_2=-u_3-u_4-\cdots-u_n$$kannst du keine Basis angeben, denn du kannst in der Vektordarstellung weder \(u_1\) noch \(u_2\) durch eine eindeutige Gleichung ersetzen.

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Vielen Dank für deine Hilfe,

ich glaube ich habe es jetzt verstanden.

Vielleicht hast du noch Ideen bei folgender Aufgabe:

Es seien \( v_{1}, \ldots, v_{\ell} \in \mathbb{K}^{n} \) und \( w_{1}, \ldots, w_{\ell} \in \mathbb{K}^{n} \), sowie
\( A=\left(\begin{array}{c} v_{1}^{T} \\ \vdots \\ v_{\ell}^{T} \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{\ell \times n} \quad \text { und } \quad B=\left(\begin{array}{c} w_{1}^{T} \\ \vdots \\ w_{\ell}^{T} \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{\ell \times n} \text {. } \)
(a) Zeigen Sie: Wenn ein \( E \in \mathbb{K}^{\ell \times \ell} \) existiert mit \( A=E B \), dann ist
\( \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{\ell}\right) \subseteq \operatorname{span}\left(w_{1}, \ldots, w_{\ell}\right) . \)
(b) Zeigen Sie: Wenn ein \( E \in \mathrm{GL}_{\ell}(\mathbb{K}) \) existiert mit \( A=E B \), dann ist
\( \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{\ell}\right)=\operatorname{span}\left(w_{1}, \ldots, w_{\ell}\right) . \)
(c) Zeigen Sie: Wenn \( B \) aus \( A \) durch endlich viele elementare Zeilenumformungen entstanden ist, dann ist \( \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{\ell}\right)=\operatorname{span}\left(w_{1}, \ldots, w_{\ell}\right) \).
(d) Zeigen Sie: Wenn \( B \) in strikter Stufenform mit Stufenindizes \( 1 \leq k_{1}<\cdots<k_{r} \leq \ell \) ist, dann ist \( \left(w_{1}, \ldots, w_{r}\right) \) eine Basis von \( \operatorname{span}\left(w_{1}, \ldots, w_{\ell}\right) \).