Bestimmen Sie den Untervektorraum

Question

Aufgabe:

Sei \( \alpha: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{3} \) der lineare Endomorphismus des Standaradvektorraums \( \mathbb{Q}^{3} \) mit Koordinatenmatrix
\( A=[\alpha]_{\mathfrak{E}}=\left(\begin{array}{ccc} -5 & 2 & 10 \\ -1 & 0 & 1 \\ -5 & 1 & 10 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{Q}) \)
bzgl. der Basis \( \mathfrak{E}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \), bestehend aus \( e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1) \).
(a) Verifizieren Sie mittels geeigneter Zeilenumformungen, dass \( A \) (und damit \( \alpha \) ) den vollen Rang 3 hat, und berechnen Sie \( A^{-1}=\left[\alpha^{-1}\right]_{\mathfrak{E}} \).
(b) Bestimmen Sie den Untervektorraum
\( U=\left\{v \in \mathbb{Q}^{3} \mid v \alpha=5 v\right\}, \)
indem Sie eine Basis für \( U \) berechnen.

Hallo, kann mir jemand bei der (b) helfen? Ich versteh leider nicht so ganz, wie ich hier eine Basis berechnen soll. Vor allem verstehe ich auch die Bedingung von U nicht. va = 5v ?

Danke für jede Hilfe!

Answer 1

Wenn ich eure Schreibweise richtig interpretiere,

bedeutet \(v\alpha=\alpha(v)\). Somit ist unter der Annahme, dass \(5\)

ein Eigenwert von \(\alpha\) ist, \(U\) der zugehörige Eigenraum:

\(U=\ker(A-5E_3)\). Meine Berechnung liefert:

\(U=span((1,0,1)^T)\).

Comments

Super, danke dir für die Hilfe. Habe es mittels Gauß verfahren gelöst und komme auch auf die Lösungen. Habe bloß die Schreibweise nicht so ganz verstanden

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Hallo Ermanus, ist Dir die Schreibweise va statt a(v) geläufig? Wird die in irgendeinem Spezialgebiet bevorzugt?

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Hallo Mathhilf,

ja, es gibt diese Schreibweise in Texten oder Büchern

zur homologischen Algebra.

Dort ist es hin und wieder üblich, bei einem

Links-Modul eine lineare Abbildung rechts zu notieren

und bei einem Rechts-Modul auf der linken Seite.

Der Vorteil solch einer Konvention ist es,

dass die Multiplikationsregel für Skalare die Gestalt

eines Assoziativgesetzes bekommt.

Normal "\(\alpha(c\cdot v)=c\cdot \alpha(v)\)" wird zu

"\((cv)\alpha=c(v\alpha)\)".

Diese Art der Schreibweise zeigt im Zusammenhang mit

Moduln über Ringen u.a., dass der Dualmodul eines

Links-Moduls ein Rechts-Modul ist.

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Danke für die Info

Answer 2

Hey,

Also die Bedingung soll vermutlich $$vA=5v$$ heißen. Ich weiß ja jetzt nicht wie das bei euch sein soll. Das sind dann halt die Vektoren, die von A auf 5 mal sich selbst abgebildet werden, oder anders $$vA-5v=v(A-5I)=0$$ wobei I die Einheitsmatrix ist und 0. Da A vollen Rang hat, hat U Dimension 1, also musst du quasi nur einen Vektor (außer 0) finden und der Spann davon ist dann U.

LG

Comments

Da A vollen Rang hat, hat U Dimension 1

Warum das denn?

Außerdem heißt es wohl \(Av\) und nicht \(vA\).

Answer 3

Ich denke Du sollst eine Basis vom Eigenraum zum Eigenwert \( \lambda = 5 \) finden. Die Basis besteht dann aus dem Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda = 5 \)