Untervektorraum und Dimension Beweis

Question

Aufgabe:

Sei V ⊆ M₂(IR) die Menge der Matrizen, für die der Vektor (1 2)

im Kern liegt und sei W ⊆ M₂(IR) die Menge der Matrizen, für die der Vektor (1 2)

ein Eigenvektor ist.

(a) Beweisen Sie, dass V ⊆ M₂(IR) ein Untervektorraum ist.

(b) Bestimmen Sie die Dimension von V .

(c) Beweisen Sie, dass W ⊆ M₂(IR) ein Untervektorraum ist.

(d) Bestimmen Sie die Dimension von W.

Problem/Ansatz:

zu a) und c): Kann man einfach annehmen, dass die Struktur der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation aus M₂(IR) vorliegt? Aber wie beweist man, dass 0 in V bzw. W liegt?

zu b) und d) weiß ich nicht wie ich vorgehen soll

Answer 1

Aber wie beweist man, dass 0 in V bzw. W liegt?

in V , weil

\(   \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\)

also liegt der Vektor (1 2)  im Kern  der 0_matrix.

In W : Es ist

\(  \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}= 0 \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\)

also ist (1 2)  ein Eigenvektor  der 0_matrix.

Die Struktur der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation aus M2(IR)

liegt vor, aber du musst die Abgeschlossenheit der Unterräume zeigen.

Für b) überlege bei welchen 2 x 2 Matrizen gilt

\(  \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\)

Du findest: a=-2b und c=-2d , also sehen die Elemente von V alle so aus.

\(  \begin{pmatrix} -2b&b\\-2d&d \end{pmatrix} \). Die kannst du alle schreiben als

\(  b\begin{pmatrix} -2&1\\0&0 \end{pmatrix} + d\begin{pmatrix} 0&0\\-2&1 \end{pmatrix} \)

Da hast du eine Basis, also dim=2. Musst noch die lin. Unabh. zeigen.