k-linear, Untervektorraum,Dimension

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Für beliebiges a= (a1,...,an)∈Kⁿ sei fa: Kⁿ→ K die Abbildung

x= (x1,...,xn) →
n
∑  aixi.
i=1
Zeigen Sie, dass fa K-linear ist und dass Ha:={x∈Kⁿ |fa(x) = 0}  ein K-Untervektorraum von Kⁿ ist. Welche Dimension hat Ha?

Problem/Ansatz:

Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

Zeige für x= (x1,...,xn)  und y= (y1,...,yn)

fa(x+y) = fa(x) + fa(y)

und für alle c ∈ K

fa(c*x) = c*fa(x).

Dann hast du die K-Linearität.

Zeige, dass Ha den 0-Vektor enthält

und für x,y aus Ha auch die Summe in Ha ist

und für alle  c ∈ K

aus    x ∈ K auch cx  ∈ K folgt.

Falls a=(0,...,0) ist, wird ja jedes x auf die

Null abgebildet. Also Ha=Kⁿ ,

also dim=n.

Ansonsten wohl dim = n-1.