Dimension von Untervektorraum bestimmen. U = { (x1, x2, x3, x4) | x2 = 2x1, x3 = 2x2, x4 = 4x3 }

Question

V ein Vektorraum, U ein Untervektorraum, dim V = 4

U = { (x₁, x₂, x₃, x₄) | x₂ = 2x₁, x₃ = 2x₂, x₄ = 4x₃ }

Bestimme dim U.

Hat jemand einen Vorschlag, wie ich an diese Aufgabe rangehen könnte?

EDIT(Lu): Zeilenumbrüche eingefügt (vgl. Kommentar) 

Comments

Bestimme ein Erzeugendensystem von U. Reduziere das Erzeugendensystem zu einer Basis von U. Zähle die Elemente der Basis.

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Durch das Fehlen der Absätze, ist die Angabe fehlerhaft geworden.

Es müsste heißen: dim V = 4.  U = { (x₁, x₂, x₃, x₄) | x₂ = 2x₁, x₃ = 2x₂, x₄ = 4x₃ }

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Sei \(v=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}\in U\). Es gilt \(x_2=2x_1,x_3=2x_2=4x_1,x_4=4x_3=16x_1\), also \(v=\begin{pmatrix}x_1\\2x_1\\4x_1\\16x_1\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\4\\16\end{pmatrix}\).