Untervektorraum in einem endlich erzeugten K-Vektorraum V

Question

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Aufgabe 3. Seien \( W_{1}, W_{2}, W_{3} \) Untervektorräume in einem endlich erzeugtem \( K \)-Vektorraum \( V \). Bauer Berndt behauptet das
\( \begin{aligned} \operatorname{dim}_{K}\left(W_{1}+W_{2}+W_{3}\right) &=\operatorname{dim}_{K} W_{1}+\operatorname{dim}_{K} W_{2}+\operatorname{dim}_{K} W_{3} \\ &-\operatorname{dim}_{K}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)-\operatorname{dim}_{K}\left(W_{2} \cap W_{3}\right) \\ &-\operatorname{dim}_{K}\left(W_{1} \cap W_{3}\right)+\operatorname{dim}_{K}\left(W_{1} \cap W_{2} \cap W_{3}\right) \end{aligned} \)
Stimmt das? Begründen Sie Ihre Antwort!

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Aufgabe 1. Geben Sie ein Beispiel von zwei Untervektoräume \( W_{1}, W_{2} \subset \mathbb{R}^{6} \) an, s.d. \( \operatorname{dim} W_{1}=4, \operatorname{dim} W_{2}=3 \) und \( \operatorname{dim} W_{1} \cap W_{2}=2 \). Begründen Sie Ihre Anwort!

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

Habe bei der letzten Vorlesung leider nicht wirklich viel verstanden und ich möchte meine Klausurzulassung noch bekommen.:/

Danke im Voraus

Answer 1

Zu Aufgabe 3: Nein, diese Formel stimmt nicht. Betrachte zum Beispiel drei Geraden \( W_{1}, W_{2}, W_{3} \in \mathbb{R}^{2} \), welche sich nicht schneiden. Die Dimensionen der Schnitte sind 0, da sich die Geraden ja nicht schneiden, und somit ist nach der Formel
\( \operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}+W_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{3}\right) \Longleftrightarrow 2=3 \)
was natürlich nicht stimmt.
Zur Aufgabe 1: \( W_{1} \) kann einfach durch die ersten vier kanonischen Basisvektoren erzeugt werden, \( W_{2} \) durch zwei der ersten vier und einen der letzten beiden.