Untersuchen Sie, ob U ein Untervektorraum vom Vektorraum V ist

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen U Untervektorräume der gegebenen Vektorräume V sind.

V = R²

$$U = \begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix} $$ 
x,y ∈ R², x² + y² ≤ 1

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst geschaut, ob der Nullvektor enthalten ist, wenn ich x,y = 0 setze, ist dies erfüllt. Somit ist U ≠∅. 

Wenn ich nun die Abgeschlossenheit bzgl Multiplikation prüfe, merke ich, dass aufgrund von
x² + y² ≤ 1 als einziger Wert für k∈ R, k = 1 sein kann, da die Gleichung sonst nicht mehr ≤ 1 ist. Daraus sollte man ja schließen können, dass U kein Untervektorraum von V ist.
Stimmt dieses Vorgehen, bzw. ist das richtig?

Answer 1

Aloha :)

Ja, deine Argumentation ist richtig. Ich würde einfach ein entsprechendes Gegenbeispiel formulieren:

\(\underbrace{2}_{\in\mathbb{R}}\cdot\underbrace{\binom{1}{0}}_{\in U}=\binom{2}{0}\not\in U\quad\), denn:\(\quad 2^2+0^2\not\le1\).