Sei V ein K-Vektorraum und U Teilmenge von V ein Untervektorraum

Question

Sei V ein K-Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum:

(a) Bestimme alle v ∈ V, für die die Menge v + U :=  v + u : u ∈ U ein Untervektorraum von V ist (mit Begründung).

(b) Zeige: Ist U ≠ V, so ist span(V \ U) = V.

Answer 1

(a) Bestimme alle v ∈ V, für die die Menge v + U :=  v + u : u ∈ U ein

Untervektorraum von V ist (mit Begründung).Bedingung:   v aus U.wenn v aus U dann  bilden alle  v+u mit u aus U den VR  U.

umgekehrt: wenn v + U ein Vektorraum ist , dann gehört dazu auch der 0-Vektor,

also gibt es ein u aus U mit  v+u = 0  also   v = - u.

Da  u aus U und U ein Unterraum ist, ist auch  - u aus U, also v aus U.