Seien V ein K-Vektorraum und U1 und U2 teilmenge V Untervektorraum

Question

 i)

Seien V ein K-Vektorraum und U₁,U₂ ⊂ V Untervektorräume.

Zeigen Sie: U₁ ∪ U2 ⊂ V ist Untervektorraum ⇔ U₁ ⊂ U₂ oder U₂ ⊂ U₁.

ii)

Seien V ein K-Vektorraum und U,W,N ⊂ V Untervektorräume mit U ⊂ W.

Zeigen Sie: W ∩(U + N) = U + (W ∩N). 

Wie soll ich diese aufgaben Lösen ?

Kann mir vielleicht jemand die Lösung für diese Probleme sagen?

Schonmal vielen Dank dafür!

Answer 1

i) von rechts nach links ist ja klar, denn dann ist die Vereinigung einer
von den beiden.links nach rechts:

nimm ein x aus U1 \ U2 und ein y aus U2 \ U1 ( gibt es, wenn dasrechte nicht gilt )  und leite daraus einen Widerspruch her für

x+y  Das müsste dann sowohl in U1 als auch in U2 sein, im Gegensatz

zu  ( x+y) - x = y ist nicht in U1.