Aufgabe:
Sei K ein Körper und k ∈ N≥2. Zeigen Sie, dass für einen endlich erzeugten K-Vektorraum
V und für Untervektorräume U1, . . . , Uk ≤ V folgende Bedingungen äquivalent sind:
(a) V = U1 ⊕ . . . ⊕ Uk
(b) V = U1 + . . . + Uk und aus u1 + . . . + uk = 0, ui ∈ Ui folgt ui = 0 für alle i = 1, . . . , k.
(c) V = U1 + . . . + Uk und Ui ∩ (U1 + . . . + Ui−1 + Ui+1 + . . . + Uk) = {0} für alle i = 1, . . . , k.
(d) V = U1 + . . . + Uk und dim(V ) = dim(U1) + . . . + dim(Uk).
Ich brauch eure Hilfe in Form von einer Lösung.
Danke
