Seien U,W Untervektorräume eines endlich erzeugten Vektorraums V . Zei- gen Sie, daß aquivalent sind

Question

Seien U,W Untervektorräume eines endlich erzeugten Vektorraums V . Zei- gen Sifür eure Hilfe., dass aquivalent sind

(i) V = U ⊕ W.

(ii) U ∩ W = {0} und dimV = dim U + dim W.

(iii) V = U + W und dim V = dimU + dimW.


Ich hab keine ahnung wie man das zeigen soll. Ich bedanke mich jetzt schonmal f

Comments

Solche Mehrfachäquivalenzen zeigt man am besten "im Kreis". Also z.B. (i)=>(ii)=>(iii)=>(i). z.B: (ii)=>(iii): Da $$U+W\subseteq V$$ (als Summe von Unterräumen) und nach Dimensionsformel und (ii) dim(U+W)=dim(V) ist U+W=V.