Direkte Summe: Sei eine Teilraum U gegeben, bestimme man einen Teilraum W von R^4 , sodass...

Question

Aufgabe:

Sei U = [(1, −4, 2, −3),(−3, 8, −4, 6)] , bestimme man einen Teilraum W von ℝ⁴ , sodass U ⊕W = ℝ⁴

Problem/Ansatz:

Ich verstehe es überhaupt nicht wie ich das beginnen soll. Wie kann ich das lösen?

bedeutet diese Schreibweise von U mit eckige Klammer dass U eine Teilraum ist? sollte W auch zwei Vektoren haben? Und wie kann ich dann dass machen/wissen dass diese beide Teilräume R^4 ergeben?

Ich wäre sehr sehr dankbar für irgendwelche Erklärungen/Beispiele/praktische Weg damit ich das wirklich verstehen kann und dann auch später anwenden kann.

LG

Answer 1

Man bestimme eine Basis von \(U\), indem man etwa die beiden angegebenen

Erzeugenden, ich nenne sie mal \(v_1,v_2\), als Basis nimmt. Nach

dem Basis-Ergänzungssatz ergänze man diese zu einer Basis

\(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) von \(\mathbb{R}^4\). Nun definiere \(W:=[v_3,v_4]\).