Untervektorraum prüfen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist in \( \mathbf{V}=\mathbb{R}^{3} \) die Menge von Vektoren

\(A=\left\{v_{1}=\left(\begin{array}{c}-1 \\1 \\0\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\1 \\1\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\2 \\1\end{array}\right)\right\}\)

a) Prüfen Sie die Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit.

b) Geben Sie eine Basis und die Dimension von \( \operatorname{Span}(A) \) an.

c) Zeigen Sie \( v=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right) \in \operatorname{Span}(A) \) und geben Sie die Koordinaten von \( v \) bzgl. der Basis \( B=\left\{v_{1}, v_{3}\right\} \) an.

Problem/Ansatz:

Die a und b habe ich gelöst, jedoch komme ich bei der Teilaufgabe c) nicht weiter.

Und könnte man bitte das formatieren, ich habe es nicht hinbekommen.

Sorry.

Comments

Du könntest für einen bestimmten Vektor so schreiben:

(3,0)^T , dann weiß man , dass damit der Vektor in senkrechter Form mit den Komponenten 3 und 0 gemeint ist. Zum Beispiel in deinem Fall die Basis A:

[(-1,1,0)^T,(1,1,0)^T,(0,2,1)^T]

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Ich meinte die c) wie prüfe ich das?

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Ich denke, du musst den Vektor v als Linearkombination der drei Vektoren v1,v2,v3 angeben. Also zeigen, dass es jeweils ein reelles Skalar a,b und c gibt, mit denen gilt: a*v1+b*v2+c*v3=v, also das LGS lösen. Beim zweiten Teil musst du dasselbe machen, nur diesmal mit a*v1+c*v3=v, wobei hier a und c nicht das gleiche sein müssen wie davor. Aber ich kann keine Garantie für meine Antwort geben.

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Okay vielen Dank.

Answer 1

Löse die Gleichung \(\alpha\cdot v_1 + \beta\cdot v_2 = \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\).

Comments

Vielen Dank.