Gründe wieso diese Formel der Rotationsvolumenberechnung nicht gilt

Question

Ich hab eine Frage zu der Berechnung von Rotationskörpern zwischen zwei Funktionen.

Die Formel lautet ja:

$$ V = \pi \int _ { a } ^ { b } \left( ( u ( x ) ) ^ { 2 } - ( v ( x ) ) ^ { 2 } \right) d x $$

 wie gilt diese Formel nicht. Klar die Stammfunktion verändert sich beim quadrieren aber welche Gründe hat diese Veränderung und welche Gründe gibt es noch weshalb diese Formel nicht gilt?

$$ V = \pi \int _ { a } ^ { b } \left( ( u ( x ) - v ( x ) ) ^ { 2 } \right) d x $$

Answer 1

  ohne Skizze ist es zwar etwas schwieriger aber wir probieren es einmal.

  u(x) ist der Funktionswert der Funktion u an der Stelle x.

  Rotiert der Funktionswert an der Stelle x um die x-Achse ergibt sich eine Kreisfläche mit der Fläche

  A(x) = [u(x)]^2 * Pi

  Der Funktionswert u(x) ist der Radius des Kreises ( analog r^2 * Pi ).

  Summiere ich die Flächen durch Integration auf erhalte ich

  V =  π * ∫ [u(x)]^2 * dx

  Bei zwei Rotationskörpern ziehe Volumen 1 von Volumen 2 ab

  V =  π * ∫ [u(x)]^2 * dx - π * ∫ [v(x)]^2 * dx

  V =  π * ∫ ( [u(x)]^2 - [v(x)]^2 ) * dx

  Die zweite von die angeführte Variante kann nirgenwo hergeleitet werden und ist falsch.

  mfg Georg

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