a) Ist die unterjährige Verzinsung mit Zinseszins bei wachsendem m zum Vorteil oder zum Nachteil des Anlegers?

Question

Die Formel:

K_n=K_o(1+p/100/m)^n*m

K_n=Endkapital inkl. Zinsen nach n Jahren, K_o=angelegtes Anfangskapital, p=Zinssatz in Prozent, n= Anzahl der Jahre, m=Anzahl der Zinsperioden pro Jahr

Bei der unterjährigen Verzinsung ergibt sich der effektive Jahreszinssatz
in Dezimaldarstellung durch
(k₁/k₀)-1
a) Ist die unterjährige Verzinsung mit Zinseszins bei wachsendem m
zum Vorteil oder zum Nachteil des Anlegers?
b) Ist der effektive Jahreszinssatz beschränkt für festen Jahreszinssatz
p = 100 und wachsendes m? Geben sie gegebenenfalls die kleinste
obere Schranke für den effektiven Jahreszinssatz in diesem Fall an.

Okay,kleinste obere Schranke ist gleich das Supremum, noch nie berechnet, aber nach meiner Recherche muss ich bei einem Supremum folgendes zeigen:

-ein von mir vermutetetes Supremum ist eine obere Schranke vom effektiven Jahreszins (der Zinswachstum ist also begrenzt)

-das vermutete Supremum ist die kleinste obere Schranke vom effektiven Jahreszins

Tja, mein Verständnis der Aufgabe ist dadurch nur bedingt gewachsen. Was kann bei b) das Supremum sein?

a) ja, wenn ich unterjährigen Verzinsung richtig verstanden habe,da die Zinsen mehrmals im Jahr zum Kapital hinzukommen und das erhöhte Kapital wieder verzinst wird und so weiter. Kann ich das auch mathematisch zeigen, abgesehen davon gleiche Werte in die Formel (mit verschiedenem m) einzusetzten?

Ich habe schon länger rechechiert, komme aber leider nicht vorran. Es wäre toll, wenn mir jemand helfen kann :)

Answer 1

klassische Aufgabe :). Ich kürze mal ab: \(p' = \frac{p}{100} \)-

a) Betrachte die Folge für \(m \in \mathbb{N}: a_m := \left( 1+ \frac{p'}{m} \right)^m \)

\(m\) ist die Anzahl der Zinsperioden.

\( m=1:\) 1 mal im Jahr

\(m=12:\) 12 mal im Jahr (z.Bsp. monatlich)

\(m = 365:\) 365 mal im Jahr (z. Bsp. täglich, im normalen Sinne)

Die Folge ist streng monoton wachsend, was als Konsequenz bedeutet:

Um so mehr Zinsperioden im laufenden Jahr um so besser für den Anleger.

b) Für \(p=100\) ist \(p' = 1\). Ja der effektive Jahreszins ist beschränkt, das sieht man direkt aus der folgenden Überlegung. Wir wissen, dass die obige Folge streng monoton wächst, somit gilt dies auch für den effektiven Jahreszins. Was passiert wenn wir nun die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr gegen unendlich laufen lassen? (Man spricht in diesem Fall von der stetigen Verzinsung). Es kommt ein ganz bekannter Grenzwert heraus:

$$ \lim \limits_{m \to \infty} \left(1+\frac{1}{m} \right)^m = e$$

Somit ist \(e-1\) das Supremum des effektiven Jahreszins.

Gruß

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Vielen Dank, für die Hilfe :)

Answer 2

$$ K_n=K_o(1+\frac{p}{100}\cdot {\frac{1}{m}})^{n\cdot m }  $$
setzen wir mal den Zinssatz auf 100% und das Startkapital auf 1
$$ K_n=1 \cdot (1+\frac{100}{100}\cdot {\frac{1}{m}})^{n\cdot m }  $$
$$ K_n= (1+\frac{1}{m})^{n\cdot m }  $$
Wir lassen das nur mal für ein Jahr ...
$$ K_1= (1+\frac{1}{m})^{1 \cdot m }  $$
$$ K_1= (1+\frac{1}{m})^{ m }  $$
bei einem Verzinsungsvorgang pro Jahr macht das
$$ K_1= (1+\frac 11)^{ 1}  $$
aber bei monatlicher Verzinsung:
$$ K_1= (1+\frac1{12})^{ 12}  $$
... bei wöchentlicher Verzinsung:
$$ K_1= (1+\frac1{52})^{ 52}  $$
... bei täglicher Verzinsung:
$$ K_1= (1+\frac1{360})^{ 360}  $$
und bei unendlich häufiger Verzinsung
$$ K_1= \lim _{m \rightarrow \infty} (1+\frac1{m})^{ m}  $$
Da kommt übrigens eine recht interessante Zahl raus ...

Comments

2,715 fast die eulersche Zahl :D ist 2,715 nun mein Supremum bzw. der maximale Verzinsungsfaktor?

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Danke, hat mir sehr weitergeholfen :)