Supremum Infimum , Intervallschachtelung

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung (bild),Könnte mir jemand Helfen ich komme nicht wirklich weiter =(. Bitte Danke !

Answer 1

du könntest damit anfangen zu zeigen:

\( \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}} A_n = (-\infty, x) \)

\( \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}} B_n = (x, \infty) \).

Der restlichen Behauptungen gehen daraus sofort hervor bzw. werden dabei mit gezeigt.

Gruß

Comments

Dankesehr für den Hinweis , aus diesem kann man laut definitionen erkennen x ist sup von A und zugleich inf von B und x kein Element von A und B weil alle darinliegenden Zahlen kleiner bzw. größer sind als x .

Um das zu zeigen fällt mir ein Laut der Vereinigunsgmenge der Familie von Mengen (An)neN =⟨x|existiert neN:xeAn⟩ , weil wir angenommen haben xeR sodass für alle n aus N gilt x element von IN ( in meinen worten heißt das wir nehmen ein x was in jedem einzelnen dieser Intervalle element ist )

das führt uns dazu, dass die Intervallschachtelung die Zahl x darstellen muss und somit in allen Intervallen enhalten sein kann. Da aber x dann nicht erreicht wird sonder wir uns dem nur annähern  ist x in der Vereiningung der Familie der Mengen An und Bn nicht dabei. was uns zu diesem Beahuptung führt . Denke ich da richtig?

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Im Grunde gehst du schon halbwegs in die richtige Richtung. \(x\) ist nach Definition das einzige Element, dass im Durchschnitt aller Intervalle \(I_n\) liegt. Insbesondere gilt \( a_n \leq x \leq b_n\) für alle \(n \in \mathbb{N} \). Warum liegt also \(x\) nicht in den Vereinigungen der Intervalle \(A_n\) bzw. \(B_n\)? Um das zu formalisieren verwende, dass gilt:

\(A_n \subset A_{n+1} \forall n \in \mathbb{N} \), was daraus hervorgeht, dass \(a_n \leq a_{n+1} \), da die Intervalle \(I_n\) eine Intervallschachtelung bilden. Genauso gilt \( B_n \subset B_{n+1} \forall n \in \mathbb{N}\).

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Ok cool dann sind meine Gedanken hierbei sogar verwertbar ^^
Weil An+1 eine Teilmenge von An ist und Bn+1 eine Teilemenge von Bn und  jedes weitere Intervall Teilmenge des Vorgangänger ist . Ich kanns mir vorstellen warum das so ist x ist ja in ALLEN Intervallen der Intervallschachtelung ein Element von , dh.  weil die Intervalle eine Intervallschachtelung Bilden und sich zusammenziehen , wird es nicht von dieser Intervallschachtelung wegkommen und in den Vereinigungen der Intervalle AnANbzw. Bn vorkommen. ( Das sind jz deine Worte nur etwas unformaler und studienbeginnerhaft ausgedrückt ^^)

Sozusagen einfach über die Eigenschaft der Intervallschachtelung definiert .

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Das ist richtig, allerdings ist \(A_n\) Teilmenge von \(A_{n+1}\) und nicht umgekehrt ;).

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Aja meinte ich ich ja  :D :)

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Frage:  Also mein Ansatz wäre ja so,

laut (I_n)neN geht ja hervor, dass a_n ≤ b_n sein muss

Ich habe dann zwei beliebige Werte genommen s,t

s,t --> beliebig :    a_s ≤ b_t 

^{1. Fall:} 

^{s ≥ t => Is ⊆ It} 

^{at ≤ as≤ bt ≤ bs}  

^{=> as ≤ bt}  

^{2. Fall:}

^{s <  t => Is ⊇ It} 

^{as ≤ at ≤ bs ≤ bt}  

^{=> as ≤ bt}  

dh. wiederum: an ≤ sup(A) ≤ inf(B) ≤ bn

damit sup(A), inf(B) ∈ I_n => muss sup(A) und inf(B) innere Punkte von I_n sein

da I_n nur einen inneren Punkt

=> sup(A)= inf(B)

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Wo war jetzt die Frage? :)  Du hast allerdings in deiner Fallunterscheidung \(b_t\) und \(b_s\) jeweils vertauscht. Wenn du das korrigierst ist die Argumentation ok.

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Frage war nur ob das so auch stimmt :) Ohh stimmt danke