Wie kann ich den Arctan umschreiben?

Question

ich benötige einen Denkanstoß was das Umschreiben des ARCTAN(X) betrifft.

Ich habe folgende Aufgabe: Der Grenzwert folgenden Terms soll bestimmt werden:

$$ \lim_{x\to\infty} (\frac\pi 2 arctan(x))^x$$

Ich habe das ganze schon zu

$$ \lim_{x\to\infty} \frac { \pi^x arctan^x(x)}{ 2^x }$$

umgeformt um das ganze nach l'Hospital umzuwandeln.

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich den arctann umformen kann ume es etwas einfacher zu haben? bzw. einen generellen Lösungsansatz?

Comments

Welche Werte kann denn arctan annehmen ?

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Werte zwischen -pi/2 und pi/2?

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Welche Extremwerte kann dann der Term in der Klammer annehmen?

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Sollte (Pi^2)/4 sein

Answer 1

konvergiert nicht

vielleicht hast du statt 2/pi den Bruch vertauscht

Comments

Sollte (Pi²)/4 sein

und das ist größer 1 ... potenziert mit unendlich macht riesig ...

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Habe tatsächlich den beuch vertauscht. Sollte eig 2/pi heißen. Dann ergibt das dann ja quasi 1 oder?

Laut wolfram alpha kommt e^{-2/pi} raus

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es ergibt sich nicht quasi 1, sondern wir kennen nun den größtmöglichen Wert, den die Basis annehemen kann.

Wenn der Betrag der Basis kleinergleich 1 ist, lohnt es sich jetzt sich etwas zu überlegen ....