Funktion stetig bzw. stetig fortsetzbar?

Question

Hi Leute :)

Ich hänge an einer Aufgabe bzw. letzten Aufgabe für heute fest, weil ich ehrlich gesagt nicht weiß, wie ich erkennen soll ob etwas stetig bzw. stetig fortsetzbar ist ohne es auszurechnen.

Woran erkennt man, ob eine Funktion stetig bzw. stetig fortsetzbar ist? Kann man das sagen ohne rechnerisch dies zu lösen? Rein aus Gefühl würde ich sagen, dass die 1 nicht stetig ist aber die 2 schon. 

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Die Frage ist nicht "sind die Funktionen stetig" sondern "auf welcher Teilmenge der reellen Zahlen sind die Funktionen stetig".

Answer 1

(i) außer für x=-1 ist alles stetig.

bei x=-1 überlegen:

bei x=-1+h dann ist

f(x) =  ( (-1+h)² - 1  ) / | -1+h+1|

       = (1 - 2h + h^2 - 1 ) / h

        =   -2  + h 

bei x=-1-h dann ist

f(x) =  ( (-1-h)² - 1  ) / | -1h+1|

       = (1 + 2h + h^2 - 1 ) / h

        =   2  + h
für h gegen 0 also unterschiedliche Grenzwerte von rechts
und von links. Also nicht stetig ergänzbar.

(ii) f(x) = x / sin(2x)
          = x / ( 2*sin(x)*cos(x) )
          =  x/sin(x)   *   1 / 2cos(x)
bei x=0 ist der 1. Grenzwert 1 und der zweite 1/2 also
bei x=0 durch f(0)=1/2 stetig ergänzbar.

bei x= n*2pi  mit n aus Z\{0} ist der erste GW  2pi und der 2. ist 1/2 .
also ist f dann stetig ergänzbar durch f(n*2pi)= n*2pi

bei x=(2n+1)*pi so ähnlich.

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Woah danke für die Hilfe krass :D