Auf Stetigkeit untersuchen: f ( x ):= ( ( x^n ) - 1 ) / ( x - 1 )

Question

Man soll die Funktionen auf Stetigkeit im Punkt x₀ untersuchen

a)

f : ℝ \ { 1 } → ℝ, f ( x ) = ( ( x^n ) - 1 ) / ( x - 1 ), n∈ℕ und x₀ = 1

b)

g : ℝ² \ { (0,0) } → ℝ²,  g(x,y)= (xy) / (x ²  + y²) , x₀ = (0,0)

Comments

Wenn du an der Definitionslücken keine Funktionswerte definiert hast, ist die Funktion dort nicht stetig. Sie kann aber stetig ergänzt werden, wenn man z.B. die Definitionslücke rauskürzen kann.

Answer 1

Allgemein,

  1.) falls der Zähler 0 wird dann haben wir eine Nullstelle ( Ausnahme 3 )
  2.) falls der Nenner 0 wird dann dann haben wir eine Polstelle ( keine Stetigkeit )( Ausnahme 3 )
  3.) falls  Zähler und Nenner 0 werden das haben wir eine hebbare Lücke

a.) f ( x ) = ( ( xⁿ ) - 1 ) / ( x - 1 ), n∈ℕ und x₀ = 1
für x₀ = 1 triftt Fall 3 zu : hebbare Lücke

Der Definitionsbereich  ist allerdings angegeben mit ℝ \ { 1 }. Deshalb ist
die Funktion in ganz ℝ nicht stetig. Stetigkeit wäre vorhanden in
] -≈ ; 1 [  und ] 1 ; ∞ [

b.) g ( x,y ) = ( x * y ) / (x ²  + y²) , x₀ = (0,0)
Dieselben Argumente wie bei a.)

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mfg Georg

Comments

Danke vielmals. Bei b) müsste doch dann das gleiche rauskommen, weil erneut Fall 3 auftreten würde oder?

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Hallo Gast,

ℝ² \ { (0,0) } → ℝ²,  g(x,y)= (xy) / (x ²  + y²) , x₀ = (0,0)

Die Funktion hat bei ( 0,0 ) eine hebbare Lücke ( 0 durch 0 ).
Wie bei a.) ist ( 0 , 0 )  allerdings aus dem Definitionsbereich
zuvor ausgeschlossen worden.

mfg Georg

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Wie wäre es wenn man jetzt ℝ→ℝ nimmt mit

Dann wäre die Funktion doch auch für x=1 definiert und wäre damit stetig oder?

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Falls n = 1 ist, wäre die neue Funktion f stetig.

In den meisten anderen Fällen nicht.

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Mit Stetigkeit, hebbaren Lücken, Erweiterung des Definitionsbereichs usw
habe mich mich heute vormittag nochmals befaßt.
Meine ersten Ausführungen über Nullstellen, Pole und hebbare
Lücken habe ich aus dem Internet und für die dort angeführten
Beispiele waren die Definitionen auch zutreffend.
Mittlerweile bin ich anderer Meinung, will mich jetzt aber nicht
dazu auslassen.

Zu deinem Beispiel
f ( x ) = ( x^n - 1 ) / ( x - 1 )
| x^n ist immer 1 für x = 1, also dürfte f ( x ) ersetzt werden
für x = 1 durch
f ( x ) = ( x - 1 ) / ( x - 1 )
lim x -> 1 [  ( x - 1 ) / ( x - 1 ) ] = 1
( So hat es Herr Papula in " Mathematik für Ingenieure... " S.187
angegeben )
In deiner Schreibweise muß es dann aber heißen
f ( x ) { 1, für x = 1 } nicht n

Soweit zunächst

mfg Georg