Bestimmen des Definitions- und Wertebereichs der Funktionen: 1. f(x) = (x+1)/(x^2-1)

Question

Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionen und prüfen Sie, für welche

x ∈ D die Funktionen stetig sind und ob sie sich für die Definitionslücken ggf. stetig ergänzen lassen.

1. \( f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-1} \)

2. \( g(x)=\frac{\sin (\underline{x})}{|\sin (x)|} \)

3. \( h(x)=e^{-\frac{x^{2}-1}{x-1}} \)

Answer 1

f(x) = (x + 1) / (x^2 - 1)

Der Nenner wird Null für x = ± 1 Also sind das Definitionslücken. D = R \ {-1 ; 1}

f(x) = (x + 1) / ((x + 1)·(x - 1))

Stetig ergänzen indem ich durch (x + 1) kürze

f(x) = 1 / (x - 1)

Hierbei Handelt es sich um den nach rechts verschobenen Graphen von 1/x. Wertebereich ist daher R \ {0}.

Comments

Beim Definitionsbereich brauchst du in diesen Aufgaben nur darauf zu achten, dass der Nenner eines Bruches nicht null werden darf.

Bei anderen Aufgaben darf der Term unter der Wurzel nicht negativ werden und beim Logarithmus darf der Term nicht kleiner oder gleich Null werden.

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Die Funktion f(x) = 1 / (x-1) hat ja immernoch eine Definitionslücke bei x = 1. Diese lässt sich nicht mehr stetig ergänzen, oder? Da

$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1} = -\infty$$

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Richtig. Die lässt sich hier nicht stetig ergänzen.

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Vielen Dank für deine hilfreiche Antworten.