Stetigkeit von Funktionen: f(x):= x²+1/x, falls x ≠ 0 und f(x):= 0 , falls x = 0.

Question

ich habe eine Frage und hoffe ihr könnt mir helfen.

Die Aufgabe lautet

Fürr welche reellen Zahlen sind folgende Funktionen stetig und wo nicht (hier ist keine formale Rechnung oder Begründung erforderlich):
f(x) = { x²+1/x   , falls x ungleich 0

          { 0           , falls x = 0

Die geschwungene Klammer ist in wirklichkeit aber größer, sodass sie den Bruch und die 0 mit einschließt.

Ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll und ob die große Klammer einen Einfluss hat.

Vielen Dank für die Hilfe

Comments

In x=0 ist die Funktion nicht stetig. Überall sonst allerdings schon, da x^2 und 1/x auf R \{0} stetig ist.

Answer 1

Stetigkeit heißt linker Grenzwert = rechter Grenzwert = Funktionswert.

Was ist der Grenzwert für x² + 1/x für x→0+ ? Ist das nicht ∞ ?

Also ist hier nicht der Grenzwert für x gegen 0 gleich dem Funktionswert an der Stelle 0. Also ist die Funktion nicht stetig.

Skizze:

Comments

Ich glaube bei der Fragestellung fehlen die Klammern, es sollte wahrscheinlich so heißen:

f(x)=(x^2+1)/x

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@Anonym: Hast du die gleiche Frage? oder wie kommst du auf die Vermutung?

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Das ist exakt dergleiche Text aus meiner Übung.

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@Anonym (x^2 +1)/x ändert nichts am Ort der Unstetigkeitsstelle (Division durch 0 ist immer noch verboten). Allerdings sieht dann der Graph etwas anders aus:

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Ja, der Graph hatte mich etwas stutzig gemacht.

Ich habe geschrieben: f(x) ist stetig für alle R﹨{0}. An der Stelle ist x=0 ist f(x) nicht stetig.