Finden Sie ein Beispiel, für das die Ungleichung in (a) strikt ist

Question

Zeigen Sie: Sind (a_n)^∞_n=1  und (b_n)^∞_n=1 beschränkte Folgen in ℝ, so gilt:

(a) lim sup(a_n + b_n) ≤ lim sup(a_n) + lim sup(b_n)

      ^{n→∞                      n→∞               n→∞}                

(b)   Finden Sie ein Beispiel, für das die Ungleichung in (a) strikt ist.

Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe. Wie zeige ich das für (a) und (b)?

Ich sitzt schon zu lange davor und weiß nicht wie ich vorgehen soll. 

Answer 1

(a) Es genügt zu zeigen dass lim sup(a_n) + lim sup(b_n) eine obere Schranke von (a_n+b_n)^∞_n=1 ist.

(b) (a_n)^∞_n=1 = (n mod 2)^∞_n=1, (b_n)^∞_n=1 = ((n+1) mod 2)^∞_n=1,

Comments

(b) (a_n)^∞_n=1 = (n mod 2)^∞_n=1, (b_n)^∞_n=1 = ((n+1) mod 2)^∞_n=1,

sind keine beschränkten Folgen.

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Alle Glieder der Folgen liegen im Intervall [0; 1]. Damit sind die Folgen beschränkt.