Beispiel für lim sup n→∞ (an bn) < lim sup n→∞ an lim sup n→∞ bn

Question

Aufgabe:

Geben Sie ein Beispiel für zwei beschränkte reelle Folgen (a_n) und (b_n) in [0, +∞) an, für
die lim sup _n→∞ (a_n b_n) < lim sup _n→∞ a_n lim sup _n→∞ b_n gilt.

Problem/Ansatz:

Hat jemand eine Idee? Ich habe schon verschiedene Beschränkte Folgen benutzt, komme aber immer auf "=" heraus.

Answer 1

Hallo,

betrachte etwa \( a_n =\left\{\begin{array}{ll} 1, & n \, \text{gerade} \\0, & n \, \text{ungerade} \end{array}\right. ,\,  n\in\mathbb{N} \) und \( b_n =\left\{\begin{array}{ll} 0, & n\,  \text{gerade} \\1, & n \,\text{ungerade} \end{array}\right. ,\, n\in\mathbb{N} \)

Dann ist \( a_nb_n = 0 \) für alle \( n\in\mathbb{N} \) also \( \limsup\limits_{n \to \infty}a_nb_n = 0 \), doch \(\limsup\limits_{n \to \infty}a_n \cdot \limsup\limits_{n \to \infty}b_n = 1 \)

Answer 2

Hallo,

betrachte z.B. mal die Folge $$a_n:=\begin{cases} 1 & n\,\mathrm{gerade}\\ 0 & n\,\mathrm{ungerade}\end{cases}$$

Was ist \(\limsup\limits_{n\to\infty}a_n\)?

Vielleicht hast du dann auch schon eine Idee für \(b_n\).

LG Dojima