Du möchtest also folgendes zeigen: \( \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sup \left\{a_{n}: n \geq k\right\} \)
\( \mathrm{Da}\left(a_{n}\right) \) nach Voraussetzung beschränkt ist, ist auch
\( \left(b_{k}\right)=\left(\sup \left\{a_{n}: n \geq k\right\}\right) \) insbesondere nach unten beschränkt., womit gilt:
\( \left\{a_{n}: n \geq k+1\right\} \subseteq\left\{a_{n}: n \geq k\right\} \Rightarrow b_{k+1}=\sup \left\{a_{n}: n \geq k+1\right\} \leq \sup \left\{a_{n}: n \geq k\right\}=b_{k} \)
Also ist \( \left(b_{k}\right) \) monoton fallend. Nach dem Monotoniekriterium konvergiert \( \left(b_{k}\right) \) mit dem Grenzwert \( b^{*} \). Weiter setzen man \( \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}=h^{*} \) (größter Häufungspunkt von \( \left(a_{n}\right) \) ) und zeigt: \( b^{*}=h^{*} \), indem man \( b^{*} \geq h^{*} \) und \( b^{*} \leq h^{*} \) zeigen.
Da \( h^{*} \) Häufungspunkt von \( \left(a_{n}\right) \) ist, existiert zu jedem \( N \in \mathbb{N} \) ein \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq N \), so dass \( a_{n} \geq h^{*}-\epsilon \). Da \( \epsilon>0 \) beliebig war, ist daher \( b_{k}=\sup \left\{a_{n}: n \geq k\right\} \geq h^{*} \) für alle \( k \in \mathbb{N} \). Nach dem Monotoniekrieterium für Grenzwerte ist auch \( b^{*}=\lim b_{k} \geq h^{*} \).
