Folge beschränkt, zeige, dass lim sup reell ist

Question

Also ich habe bereits bewiesen, dass der  \(lim \) \( sup \)  \( a_{n} \) einer Folge gleich ihrem höchsten Häufungspunkt ist.

Sei nun \( a_n \) eine beschränkte Folge. Wie zeige ich, dass dann \(lim \) \( sup \)  \( a_{n} \) reell ist?

Comments

hallo

 wenn a_n aus R ist muss doch super a_n auch aus R sein. die Frage ist eigenartig?

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Danke für deine Antwort! Original lautet die Aufgabe so:

"Die Folge \(a_n\) sei beschränkt. Zeigen Sie, dass  \(lim \) \( sup \)  \( a_{n} \) \(\in \mathbb R\) gilt."

Man soll also zeigen, dass \(lim \) \( sup \)  \( a_{n} \) \( = \infty \) oder \(lim \) \( sup \)  \( a_{n} \) \( = - \infty \) nicht gilt. Damit habe ich nun leider so meine Probleme. Weißt du vielleicht Rat?

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\( \lim\limits_{n\to\infty} \) sup {ak,k=1,...,n} = sup a_n

sonst hätte lim keinen Sinn.

Answer 1

a_n beschränkt, d.h. k_unten ≤ a_n ≤ K

Angenommen, in deiner Diktion, \( \lim\limits_{} \) sup a_n = ∞,

d.h. genauer \( \lim\limits_{n\to\infty} \) sup {a_k,k=1,...,n} = ∞,

d.h. das Supremum jeder endlichen Menge aller Folgenglieder von k=1 bis n würde immer weiter wachsen und gegen ∞ gehen,

dann wäre sup a_n > K+1 für n>N, also ab einem bestimmten N∈ℕ. Dann müssten fast alle Folgenglieder > K+1 sein. Es liegen aber alle unterhalb von K. Das ist ein Widerspruch zur Annahme. Also ist lim sup a_n endlich, damit reell.

Comments

!!! Jetzt habe ich es verstanden!

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Aber meinst du nicht *unendliche Menge? Es sind ja auch unendlich viele Folgenglieder

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\( \lim\limits_{n\to\infty} \) sup {ak,k=1,...,n} = sup a_n

sonst hätte lim keinen Sinn.