Sei (an) n∈ℕ eine beschränkte, reelle Folge 1) Zeige: Folge A_k := sup{ a_n : n≥k } konvergiert

Question

ich habe hier eine Aufgabe mit 4 teilaufgaben, bei denen ich nicht wirklich weis, wie ich vorgehen muss

Sei (an) n∈ℕ eine beschränkte, reelle Folge

1) Zeigen Sie, dass die Folge A _k := sup{ a_n : n≥k } konvergiert

2) Ist A=lim sup a_n  , also der größte partielle Grenzwert, so gibt es zu jedem ε>0 ein N₀ ∈ ℕ, so dass a_n≤A+ε für alle n≥N₀ gilt.

3) Zeigen Sie, dass   lim (k→∞) A _k = lim sup (n→∞)  a_n  gilt.

4) Ist (b_n) eine weitere beschränkte Folge gilt  a_n,b_n ≥0 , so gilt auch

lim sup (n→∞)  (a_nb_n) ≤ lim sup (n→∞) a_n * lim sup (n→∞) b_n

Ich hoffe ich bekomme ein paar Tipps zu den jeweiligen Teilaufgaben, denn ich selbe stehe irgendwie voll auf dem Schlauch,