Nach oben beschränkte nicht-leere Teilmengen von IR: sup(M u N) = max(sup (M); sup (N))

Question

Mit folgender Aufgabe habe ich gerade ein bisschen zu kämpfen, wie sollte man am besten hier vorgehen?

Seien M und N nach oben beschränkte nicht-leere Teilmengen von IR.

(a) Zeigen Sie, dass sup (M u N) = max (sup (M); sup (N) ) :

(b) Wir setzen voraus, dass MnN 6 ungleich Leeremenge ist ;. Zeigen Sie, dass sup (M n N)  kleinergleich min (sup (M); sup (N)) und zeigen Sie an einem Beispiel, dass hierbei nicht immer Gleichheit gilt.

Answer 1

(a)

sup(M)>=sup(n)=>sup(MuN)=sup(M)

 

sup(M)<sup(n)=>sup(MuN)=sup(N)

=>sup(MuN)=max(sup(M);sup(N))

(b)

 

Das Beispiel vorab:

M={1,2,3}

N={x∈ℝ|1<=x<=5/2}

dann sup(M)=3, sup(N)=5/2 MnN={1,2}, sup(MnN}=2

Dann der Beweis:

Weil sowohl M als auch N nach oben beschränkt sind, folgt daraus, dass MnN auch nach oben beschränkt ist.

sup(MnN) kann aber nicht größer sein als min(sup(M);sup(N)), weil man sonst eine kleinere Schranke C finden könnte, sodass C=sup(M) bzw. C=sup(N), was sich dann zu einem Widerspruch führen lässt.

Comments

du hast einen preis verdient

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Hi,

zur b): Aber beweist man so nicht nur, dass sup(MnN) > min{sup(M), sup(N)} falsch ist, nicht aber, dass =< richtig ist?

Edit: Ich weiß leider nciht, wie man >= oder =< überhaupt beweisen soll... So wie = gehts ja nicht, indem man zeigt das jedes Element von rechts in links ist und andersherum...

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Das tolle an der Mathematik ist ja, dass es nur wahr oder falsch gibt.

Das heißt, wenn man bewiesen hat, dass " > " falsch ist, hat man damit gleichzeitig bewiesen, dass " <= " richtig ist.

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Ich habe so eine ähnliche Aufgabe. Bei mir steht statt sup inf und statt max min, also

inf (M u N) = min (inf M; inf N ).

Wäre das der gleiche Lösungsweg, nur dass da halt inf und min steht?