Aloha :)
Da die Funktion \(f(x)\) in \(D=[-a;a]\) definiert ist, liegt für jedes \(x\in D\) auch \((-x)\in D\) und beide Funktionswerte, \(f(x)\) und \(f(-x)\), existieren. Daher können wir \(f(x)\) wie folgt umschreiben:
$$f(x)=\underbrace{\frac{f(x)}{2}+\frac{f(x)}{2}}_{=f(x)}+\underbrace{\frac{f(-x)}{2}-\frac{f(-x)}{2}}_{=0}=\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{=:g(x)}+\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{=:u(x)}$$Wir betrachten die Symmetrie der oben definierten Funktionen \(g(x)\) und \(u(x)\):$$g(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x)$$$$u(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-u(x)$$Die Funktion \(g(x)\) ist achsensymmetrisch (gerade) und die Funktion \(u(x)\) ist punktsymmetrisch (ungerade).
