Beweise zu bestimmten Integralen von geraden und ungeraden Funktionen. Aussage verwenden...

Question

Hey;)

Könnt ihr bei der Aufgabe helfen? Weil ich weiß gar nicht, wie ich das beweisen soll...

Sei \( a>0 \) und seien \( u \) und \( v \) stetige Funktionen auf \( [-a, a] . \) Dabei sei \( u \) eine gerade Funktion, d.h. es gilt \( u(-x)=u(x) \) für alle \( x \in[-a, a] \) und \( v \) eine ungerade Funktion,
d.h. \( v(-x)=-v(x) \) für alle \( x \in[-a, a] . \) Zeigen Sie, dass
$$ \int \limits_{-a}^{a} u(x) \mathrm{d} x=2 \int \limits_{0}^{a} u(x) \mathrm{d} x, \quad \int \limits_{-a}^{a} v(x) \mathrm{d} x=0 $$
Verwenden Sie daraufhin diese Aussage, um den Wert des Integrals
$$ \int \limits_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \sin (x)(\cos (x))^{x^{2}} e^{-\frac{x^{2}}{x}} d x $$
zu bestimmen. 

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

> Keins von beiden, weil sin(x) ist ja punktsymmetrisch und cos(x) achsensymmetrisch

Diese Begründung trifft nicht zu:

[[  f(x) = sin(x) * cos(x)^{x^2} * e^{-x^2/x} =  sin(x) * cos²(x) * e^-x

ist wegen des e-Terms weder punkt- noch achsensymmetrisch.

ich denke eher, dass f(x) = sin(x) * cos(x)^{x^2} * e^{-x^2} / x  gemeint ist. ]]  

Edit:

f(x) = sin(x) * cos(x)^{x^2} * e^{-x^2/π} ,  vgl. meinen 1. Kommentar  

Gruß Wolfgang

Comments

sin(-x) * cos²(-x) =-sin(x) *cos²(x)? :) 

Ist das eine allgemeingültig Regel?:)

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Für das Integral müsste ich es also nur von 2 bis pi/4 anschauen und mal 2 nehmen?:)

Aber partielle Integration ist hier ziemlich aufwendig oder nicht?:)

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Heißt es nicht f(x) = sin(x) * cos(x)^{x^2} * e^-x2/π ?

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@nn

Da hast du sehr wahrscheinlich recht (ist bei mir schwer lesbar). Danke für den Hinweis!

@Sonnenblume 

Sorry für den Lesefehler :-(

Dann wäre natürlich

 f(x) = sin(x) * cos(x)^{x^2} * e^{-x^2 /π}  und 

f(-x) =  sin(-x) *  cos(-x)^{(-x)^2}* e^{-(-x)^2 /π}  

        =  - sin(x) * cos(x)^{x^2} * e^{- x^2 /π}   

        =  - f(x) 

und  f  symmetrisch zum Ursprung

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@Sonnenblume

> Aber partielle Integration ist hier ziemlich aufwendig oder nicht?:)

Das würde sogar überhaupt nicht funktionieren,

aber mit 

f(x) = sin(x) * cos(x)^x2 * e^-x2 /π 

hast du Symmetrie zum Ursprung und deshalb hat das  Integral den Wert  0.

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Hier hat man mit Absicht ein Integral der Form

_-a∫^a  Mist(x)  dx    (Mist symmetrisch zum Ursprung)

angegeben, weil - unabhängig von Mist - der Wert des Integrals dann sowieso gleich 0 ist.

Answer 2

Wir haben dass $$\int_{-a}^a u(x)dx=\int_{-a}^0 u(x)dx+\int_0^a u(x)dx$$

Für das erste Integral wenden wir die Intergartion per Substitution an und wir t=-x und haben dann dt=-dx, also dx=-dt. Wir müssen noch die neuen Integrationsgrenzen berechnen. Wenn x=-1 dann t=a und wenn x=0 dann t=0.

Wir haben dann $$\int_{-a}^0 u(x)dx=\int_{a}^0 u(-t)\cdot (-1)dt=-\int_{a}^0 u(-t)dt=\int_0^a u(-t)dt=\int_0^a u(t)dt=\int_0^a u(x)dx$$ Hier haben wir folgendes benutzt: $$\int_b^c f(x)dx=-\int_c^bf(x)dx \ \text{ und } \int_b^c f(x)dx=\int_b^cf(t)dt \ \text{ und } \\ u(-x)=u(x)$$ 

Wir bekommen also folgendes: $$\int_{-a}^a u(x)dx=\int_{-a}^0 u(x)dx+\int_0^a u(x)dx=\int_0^a u(x)dx+\int_0^a u(x)dx \\ =2\int_0^a u(x)dx$$

Wir haben dass $$\int_{-a}^a v(x)dx=\int_{-a}^0 v(x)dx+\int_0^a v(x)dx$$

Für das erste Integral wenden wir die Intergartion per Substitution an und wir t=-x und haben dann dt=-dx, also dx=-dt. Wir müssen noch die neuen Integrationsgrenzen berechnen. Wenn x=-1 dann t=a und wenn x=0 dann t=0.

Wir haben dann $$\int_{-a}^0 v(x)dx=\int_{a}^0 v(-t)\cdot (-1)dt=-\int_{a}^0 v(-t)dt=\int_0^a v(-t)dt \\ =\int_0^a -v(t)dt=-\int_0^a v(x)dx$$ Hier haben wir folgendes benutzt: $$\int_b^c f(x)dx=-\int_c^bf(x)dx \ \text{ und } \int_b^c f(x)dx=\int_b^cf(t)dt \ \text{ und } \\ v(-x)=-v(x)$$ 

Wir bekommen also folgendes: $$\int_{-a}^a v(x)dx=\int_{-a}^0 v(x)dx+\int_0^a v(x)dx=-\int_0^a v(x)dx+\int_0^a v(x)dx  =0$$

Comments

Kannst du mir noch zeigen, wie ich mit der Aussage den Wert des Integrals bestimme? :)

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Als erstes müssen wir bestimmen ob die Funktion $$f(x)=\sin (x)\left(\cos (x)\right)^{x^2}e^{\frac{-x^2}{\pi}}$$ gerade oder ungerade ist.

Mit was ist f(-x) gleich?

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Keins von beiden, weil sin(x) ist ja punktsymmetrisch und cos(x) achsensymmetrisch

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sin(-x) * cos²(-x) =-sin(x) *cos^2(x)? :)

Ist das eine allgemeingültig Regel?:)

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 ja 

sin(-x) = -  sin(x)

cos(-x) = cos(x)

Vergleiche aber zur Symmetrie von f meine Antwort.

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Mit

f(x) = sin(x) * cos(x)^x2 * e^-x2 /π

hat man Symmetrie zum Ursprung, deshalb ist das Integral = 0