Wir haben dass $$\int_{-a}^a u(x)dx=\int_{-a}^0 u(x)dx+\int_0^a u(x)dx$$
Für das erste Integral wenden wir die Intergartion per Substitution an und wir t=-x und haben dann dt=-dx, also dx=-dt. Wir müssen noch die neuen Integrationsgrenzen berechnen. Wenn x=-1 dann t=a und wenn x=0 dann t=0.
Wir haben dann $$\int_{-a}^0 u(x)dx=\int_{a}^0 u(-t)\cdot (-1)dt=-\int_{a}^0 u(-t)dt=\int_0^a u(-t)dt=\int_0^a u(t)dt=\int_0^a u(x)dx$$ Hier haben wir folgendes benutzt: $$\int_b^c f(x)dx=-\int_c^bf(x)dx \ \text{ und } \int_b^c f(x)dx=\int_b^cf(t)dt \ \text{ und } \\ u(-x)=u(x)$$
Wir bekommen also folgendes: $$\int_{-a}^a u(x)dx=\int_{-a}^0 u(x)dx+\int_0^a u(x)dx=\int_0^a u(x)dx+\int_0^a u(x)dx \\ =2\int_0^a u(x)dx$$
Wir haben dass $$\int_{-a}^a v(x)dx=\int_{-a}^0 v(x)dx+\int_0^a v(x)dx$$
Für das erste Integral wenden wir die Intergartion per Substitution an und wir t=-x und haben dann dt=-dx, also dx=-dt. Wir müssen noch die neuen Integrationsgrenzen berechnen. Wenn x=-1 dann t=a und wenn x=0 dann t=0.
Wir haben dann $$\int_{-a}^0 v(x)dx=\int_{a}^0 v(-t)\cdot (-1)dt=-\int_{a}^0 v(-t)dt=\int_0^a v(-t)dt \\ =\int_0^a -v(t)dt=-\int_0^a v(x)dx$$ Hier haben wir folgendes benutzt: $$\int_b^c f(x)dx=-\int_c^bf(x)dx \ \text{ und } \int_b^c f(x)dx=\int_b^cf(t)dt \ \text{ und } \\ v(-x)=-v(x)$$
Wir bekommen also folgendes: $$\int_{-a}^a v(x)dx=\int_{-a}^0 v(x)dx+\int_0^a v(x)dx=-\int_0^a v(x)dx+\int_0^a v(x)dx =0$$