Taylorentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen

Question

kann mir jemand bei einer Aufgabe zur Taylorentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen weiterhelfen. Ich habe bereits bewiesen:

-> Wenn die Funktion gerade ist, dann ist auch das endliche Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle 0 gerade.

-> Wenn die Funktion ungerade ist, dann ist auch das endliche Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle 0 ungerade.

So jetzt ist eine weitere Aufgabe, dass ich das gleiche statt mit dem endlichen Taylorpolynom, mit der unendlichen Taylorreihe beweisen soll und ich muss sagen ich steh ein bisschen an. Ist es nicht so, dass die unendliche Taylorreihe eigentlich die Funktion selber darstellt und deswegen sicher gerade/ungerade (je nach Fall) ist. Wenn ja, wie schreibt man das dann möglichst formal auf? Wenn nein, was wäre dann ein Ansatz zum Lösen dieser Aufgabe?

Mit der Bitte um Antworten,

Mathstiger

Comments

Ist es nicht so, dass die unendliche Taylorreihe eigentlich die Funktion selber darstellt

Nein, dem ist nicht so. Die Taylorreihe muss selbst da, wo sie konvergiert, nicht die Funktion darstellen. Siehe das beruehmte Gegenbeispiel von Cauchy.

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Reicht es dann so zu argumentieren, wie es in den Antworten getan wird?

LG Mathstiger

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Wenn die Taylor-Reihe ausser im Endwicklungspunkt nicht konvergiert (damit ist i.Allg. zu rechnen), dann stellt sie auch keine Funktion dar. Gerade oder ungerade eruebrigt sich dann.

Was Du immer machen kannst, ist eine formale Taylorreihe hinschreiben, wenn die vorgelegte Funktion unendlich oft im Nullpunkt differenzierbar ist. Wenn diese Funktion gerade ist, dann kommen nur gerade Potenzen in der formalen Taylorreihe vor, und wenn sie ungerade ist, eben nur ungerade. Sollte die Reihe einen postiven Konvergenzradius haben, dann ist die durch die Reihe erzeugte Funktion gerade, wenn die Ausgangsfunktion gerade ist, und ungerade, wenn die Ausgangsfunktion ungerade ist. Das ist unabhaengig davon, ob die Reihe in ihrem Konvergenzbereich die Ausgangsfunktion darstellt oder nicht.

Was also wolltest Du noch mal genau wissen?

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Oke nochmal sauber aufgeschrieben:

Wenn die Funktion n-mal differenzierbar ist, habe ich gezeigt, dass:

-> Wenn die Funktion gerade ist, dann ist auch das endliche Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle 0 gerade.

-> Wenn die Funktion ungerade ist, dann ist auch das endliche Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle 0 ungerade.

Jetzt ist die Situation, dass die Funktion beliebig oft differenzierbar ist. Und ich will zeigen:

-> Wenn die Funktion gerade ist, dann ist auch das unendliche Taylorpolynom (Taylorreihe) an der Entwicklungsstelle 0 gerade.

-> Wenn die Funktion ungerade ist, dann ist auch das unendliche Taylorpolynom (Taylorreihe) an der Entwicklungsstelle 0 ungerade.

Jetzt hätte ich argumentiert, dass die ungeraden Ableitungen auch noch bis ins unendliche wegfallen und die Summe von den übrig bleibenden Funktionen, die entweder gerade oder ungerade sind, eben auch eine gerade oder ungerade Summe darstellt.

Mein Problem, dass ich hab, ist: Kann ich einfach so behaupten, dass die unendliche Summe von geraden Funktionen wieder gerade ist, wenn ich bereits bewiesen hab, dass das für endliche Summen sicher gilt.

LG Mathstiger

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Kann ich einfach so behaupten, dass die unendliche Summe von geraden Funktionen wieder gerade ist, wenn ich bereits bewiesen hab, dass das für endliche Summen sicher gilt.

Wenn Deine unendliche Summe nicht konvergiert, definiert sie keine Funktion. Von einer nichtdefinierten Funktion kann man schwerlich sagen, sie sei gerade.

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Das heißt wenn ich zuerst zeigen könnte, dass die Reihe im gesamten Definitionsbereich konvergiert, würde diese Argumentation funktionieren?

Leider hab ich es hier aber mit einer allgemeinen (geraden bzw. ungeraden) Funktion F zu tun, von der ich die Taylorreihe mir anschauen soll. Was soll ich jetzt explizit zeigen, wenn ich weiß, dass das endliche Taylorpolynom die  oben genannten (vorherigen Kommentare) Eigenschaften erfüllt und ich das auf die Taylorreihe ummünzen will?

Muss ich zeigen, dass die unendliche Taylorreihe von einer geraden bzw. ungeraden Funktion im Allgemeinen konvergiert?

LG Mathsman

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Gib doch mal die ganze Aufgabe vollstaendig im Originalwortlaut an.

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Es seien n ∈N∪{0}, a > 0, I := [−a,a] und f : I →R beliebig oft differenzierbar.

Zeigen Sie: Ist f gerade, d.h. f (x) = f (−x) für alle x ∈ I, so ist T_f (x;0) gerade.

Ist die Aufgabe im Wortlaut, dasselbe auch mit ungerade.

LG Mathstiger

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Das ist Bloedsinn. T_f (x;0) definiert i.Allg. gar keine Funktion für x ≠ 0. Kann man auch nicht fragen, ob gerade oder ungerade.

Answer 1

Bei den endlichen Taylorpolynomen ist doch das TP bei einer geraden Funktion

gerade, weil die Summanden mit den ungeraden Exponenten von x wegfallen.

Das setzt sich doch bei der unendlichen Taylorreihe fort, also liefert die

doch auch eine gerade Funktion.  Oder übersehe ich da was ?

Comments

Erstmal danke. Genau das hab ich mir zuerst auch gedacht, ich frag mich nur, ob diese Argumentation reicht: Dass nämlich bis zum unendlichen Summenglied immer die ungeraden Ableitungen wegfallen? Das klingt mir doch fast zu einfach.

LG Mathstiger